Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，延长BC到点F使CF=AE．
（1）若把△ADE绕点D旋转一定的角度时，能否与△CDF重合？请说明理由．
（2）现把△DCF向左平移，使DC与AB重合，得△ABH，AH交ED于点G．求证：AH⊥ED，并求AG的长．

Answer 1

（1）∵ABCD是正方形，
∴AD=DC=2，AE=CF=1，∠BAD=∠DCF=90°，
在△ADE与△CDF中，
∵

AD=DC ∠BAD=∠DCF AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF，
∴把△ADE绕点D逆时旋转90°时能与△CDF重合．

（2）由（1）可知∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠EDF=90°，
∵AH∥DF，
∴∠EGH=∠EDF=90°，
∴AH⊥ED，
∵AE=1，AD=2，
∵ED=

AE2+AD2

=

12+22

=

5

，
∴

1

2

AE•AD=

1

2

ED•AG，
即

1

2

×1×2=

1

2

×

5

×AG，
∴AG=

2 5

5

．