题目内容

△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．
（1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；
（2）当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：
①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
【答案】分析：（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG为等边三角形根据三角形全等，求出DP=DQ；②根据AE=EG，GD=DC，即可算出DE=AC；
（2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；
（3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．
解答：解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴△DHC，△APG为等边三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能确定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；

（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH=BP，
∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，
∴y=（4-x）=2-x（0＜x≤4）或y=x-2（x＞4），
②当0＜x≤4时，无解，
当x＞4时，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x=x，
∵AB=BC=AC=4，
∴S△ABC=4，
∵PD=DQ，
∴结合图形可知S△PCQ=2S△PDC=2×，
∴2×=4，
∴（x-2）×x=4，
化简得：x2-4x-16=0，
解得：x1=2-2（不符合题意，舍去）   x2=2+2，
∴x=2+2，
∴当x=2+2时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（　　）
A、4cm2
B、2
3
cm2
C、3
3
cm2
D、4
3
cm2
已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与精英家教网y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y=-
6
3
7
x2+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式；
（3）连接PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．
如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（　　）
在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P′在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点0为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过相似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点0叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（
2
2
，
60°
60°
）；
（2）如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（
3
，90°）得到△ADE，求线段BD的长．
（2012•河东区一模）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿射线AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．
（Ⅰ）当△PQB是直角三角形时，求AP的长；
（Ⅱ）连接AQ，CP交于点M，则在点P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网