题目内容

如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为
5
．设⊙M与y轴交于D．
（1）求m、a、b的值；
（2）若动点P从点C出发，沿线段CB以每秒2个单位长的速度运动，过点P作y轴的平行线交抛物线于Q．当点P运动几秒时，线段PQ的值最大，并求此时P点坐标；
（3）在（2）条件下，当线段PQ的值最大时，四边形ACQB面积是否也最大？说明理由．
分析：（1）通过抛物线的解析式，首先能确定的是OC的长，已知⊙M的半径长，过M作y轴的垂线，通过构建的直角三角形能确定点M的纵坐标；同理，过M作x轴的垂线后可求出点B的坐标，而A、B关于抛物线的对称轴对称（根据圆和抛物线的对称性，点M正好在抛物线对称轴上），在确定点A的坐标后，利用待定系数法即可求出a、b的值．
（2）首先求出直线BC的解析式，根据直线BC和抛物线的解析式，先表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标的差即为线段PQ的长，根据所得函数的性质即可得解．
（3）四边形ACQB中，可分作两部分对待：△ABC、△BCQ，前者的面积是定值，若四边形的面积最大，那么△BCQ的面积最大，而这个面积可由PQ×OB（点B、C横坐标差的绝对值）的一半，OB是定值，显然PQ最大时，四边形的面积也是最大的．
解答：解：（1）作MN⊥CD于N，MH⊥AB于H，分别连接MC、MB．
∵⊙M的半径为
5
，xM=1，
∴CN=2，ON=1，BH=2，OB=3；
得m=-1．
∵圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，
∴OA=1，A（-1，0）、B（3，0）；
代入y=ax2+bx-3得：
a-b-3=0
9a+3b-3=0
，
解得
a=1
b=-2
．
所以m=-1，a=1，b=-2．

（2）设点P运动的时间为t秒，则CP=2t；
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴xP=
2
t；
易知，直线BC的解析式为 y=x-3
∴点P（
2
t，
2
t-3）．
∵PQ∥y轴，
∴Q（
2
t，2t2-2
2
t-3）．
PQ=
2
t-3-（2t2-2
2
t-3）=-2t2+3
2
t=-2（t-
3
2
4
）2+
9
4
．
当点P运动
3
2
4
秒，线段PQ的值最大；
故此时点P的坐标为（
3
2
，-
3
2
）．

（3）当线段PQ的值最大是，四边形ACQB的面积最大．理由：
S四边形ACQB=S△ABC+S△CQB，
其中，S△ABC=
1
2
AB×OC=
1
2
×4×3=6，为定值；
而S△CQB=
1
2
×|xB-xC|×PQ=
1
2
×3×PQ=
3
2
PQ
当线段PQ的值最大时，△CQB的面积最大，即四边形ABCQ的面积最大．
点评：此题主要考查的是：函数解析式的确定、圆的对称性、勾股定理的应用以及图形面积的解法等重点知识；在解答类似最后一题的面积问题时，合理利用图形间面积的和差关系是常用的方法．
练习册系列答案
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如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点精英家教网C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
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（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=-1．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；
（2）点P是抛物线对称轴上一点，若△PAB∽△OBC，求点P的坐标．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是（-1，-4），且与x轴交于A、B（1，0）两点，交y轴于点C；
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①当x的取值范围满足条件
-2＜x＜0
-2＜x＜0
时，y＜-3；
     ②若D（m，y1），E（2，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，求实数m的取值范围；
（3）直线x=t平行于y轴，分别交线段AC于点M、交抛物线于点N，求线段MN的长度的最大值；
（4）若以抛物线上的点P为圆心作圆与x轴相切时，正好也与y轴相切，求点P的坐标．

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