Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为E、F点．
（1）当点D在BC的什么位置时，DE=DF？并证明．
（2）在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？并请给予写出．
（3）过C点作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．

Answer 1

（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
∵在△BED和△CFD中
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE=DF．

（2）解：
有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD，
∵由（1）知△BED≌△CFD，
∴DE=DF，BE=CF，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
在△AED和△AFD中
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∵在△ADB和△ADC中

∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；
（3）CG=DE+DF
证明：连接AD，
∵S_三角形ABC=S_三角形ADB+S_三角形ADC，
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF，
∵AB=AC，
∴CG=DE+DF．
分析：（1）根据AAS证△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）求出DE=DF，AE=AF，根据SSS证出△AED≌△AFD即可，根据SSS证出△ABD≌△ACD即可；
（3）连接AD，根据三角形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．