Question

将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF．
（1）如图1，若∠ABC=α=60°，BF=AF．

①求证：DA∥BC；②猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图2，若∠ABC＜α，BF=mAF（m为常数），求的值（用含m、α的式子表示）．

Answer 1

解：（1）①证明：由旋转性质可知，∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB。
∴△ABD为等边三角形。∴∠DAB=60°。∴∠DAB=∠ABC。
∴DA∥BC。
②猜想：DF=2AF。证明如下：
如答图1所示，在DF上截取DG=AF，连接BG，

由旋转性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
∵在△DBG与△ABF中，DB=AB，∠BDG=∠BAF，DG=AF，
∴△DBG≌△ABF（SAS）。∴BG=BF，∠DBG=∠ABF。
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°。
又∵BG=BF，∴△BGF为等边三角形。∴GF=BF。
又∵BF=AF，∴GF=AF。∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF。
（2）如答图2所示，在DF上截取DG=AF，连接BG，

由（1），同理可证明△DBG≌△ABF，BG=BF，∠GBF=α。
过点B作BN⊥GF于点N，
∵BG=BF，∴点N为GF中点，∠FBN=。
在Rt△BFN中，NF=BF•sin∠FBN=BFsin=mAFsin．
∴GF=2NF=2mAFsin。∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin。
∴。

试题分析：（1）由旋转性质证明△ABD为等边三角形，则∠DAB=∠ABC=60°，所以DA∥BC。
（2）①如答图1所示，作辅助线（在DF上截取DG=AF，连接BG），构造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF；进而证明△BGF为等边三角形，则GF=BF=AF；从而DF=2AF。
②与①类似，作辅助线，构造全等三角形△DBG≌△ABF，得到BG=BF，∠DBG=∠ABF，由此可知△BGF为顶角为α的等腰三角形，解直角三角形求出GF的长度，从而得到DF长度，问题得解。