题目内容

【题目】探索发现:
如图1,已知直线l1∥l2 , 且l3和l1、l2分别相交于A、B两点,l4和l1、l2分别交于C、D两点,∠ACP记作∠1,∠BDP记作∠2,∠CPD记作∠3.点P在线段AB上.

(1)若∠1=20°,∠2=30°,请你求出∠3的度数.
(2)请你根据上述问题,请你找出图1中∠1、∠2、∠3之间的数量关系,并直接写出你的结论.
(3)应用(2)中的结论解答下列问题:如图2,点A在B的北偏东 40°的方向上,在C的北偏西45°的方向上,请你根据上述结论直接写出∠BAC的度数.
拓展延伸:
(4)如果点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时,其他条件不变,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P和A、B两点不重合),写出你的结论并说明理由.

【答案】
(1)

解:∵l1∥l2

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°,

在△PCD中,∠3+∠PCD+∠PDC=180°,

∴∠3=∠1+∠2=50°


(2)

解:∠1+∠2=∠3,

理由:∵l1∥l2

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°,

在△PCD中,∠3+∠PCD+∠PDC=180°,

∴∠1+∠2=∠3


(3)

解:如图2,过A点作AF∥BD,则AF∥BD∥CE,

∴∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°


(4)

解:当P点在A的外侧时,如图3,过P作PF∥l1,交l4于F,

∴∠1=∠FPC,

∵l1∥l4

∴PF∥l2

∴∠2=∠FPD,

∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC,

∴∠CPD=∠2﹣∠1,

当P点在B的外侧时,如图4,过P作PG∥l2,交l4于G,

∴∠2=∠GPD,

∵l1∥l2

∴PG∥l1

∴∠1=∠CPG,

∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD,

∴∠CPD=∠1﹣∠2.


【解析】(1)根据两直线平行,同旁内角互补,即可得出∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°,再根据在△PCD中,∠3+∠PCD+∠PDC=180°,即可得到∠3=∠1+∠2=50°;(2)根据l1∥l2 , 可得∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°,再根据在△PCD中,∠3+∠PCD+∠PDC=180°,即可得到∠1+∠2=∠3;(3)过A点作AF∥BD,根据AF∥BD∥CE,即可得到∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°;(4)分两种情况进行讨论:P点在A的外侧,P点在B的外侧,分别根据平行线的性质进行求解即可.
【考点精析】通过灵活运用平行线的性质和三角形的内角和外角,掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补;三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角即可以解答此题.

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