Question

【题目】如图1，AB＝AC，EF＝EG，△ABC≌△EFG，AD⊥BC于点D，EH⊥FG于点H

(1) 直接写出AD、EH的数量关系：___________________

(2) 将△EFG沿EH剪开，让点E和点C重合

① 按图2放置△EHG，将线段CD沿EH平移至HN，连接AN、GN，求证：AN⊥GN

② 按图3放置△EHG，B、C（E）、H三点共线，连接AG交EH于点M．若BD＝1，AD＝3，求CM的长度

Answer 1

【答案】（1）AD=EH；（2）见解析；（3）CM=2.

【解析】

（1）由△ABC≌△EFG，可知面积相等，利用面积公式可得高相等；

（2）如图所示，设AN、CH交于点P，CH、NG交于点O，由CD平移到NH可知四边形CDNH为平行四边形，所以CH=DN=AD，可得出△AND为等腰三角形，再由GH=CD=NH可得出△GHN为等腰三角形，由于两个等腰三角形顶角相等，可推出底角相等，在△OPN和△OGH中，可由∠OPN=∠PND=∠NGH，可推出∠PNO=90°，则AN⊥GN；

（3由AD⊥BH，GH⊥BH，可得AD∥GH，所以，再由DH=DC+EH=1+3=4，

可求出DM=3，∴CM=3-1=2.

解：（1）∵△ABC≌△EFG，

∴BC=FG，

∴

∴AD=EH

（2）如图所示，设AN、CH交于点P，CH、NG交于点O

CD平移到NH可得四边形CDNH为平行四边形

∴CH=DN，∠CDN=∠CHN，DN∥CH

又∵EH=AD，∴AD=DN，即△AND为等腰三角形

∵GH=CD=NH，∴△GHN为等腰三角形，

∵∠ADN=∠ADC+∠CDN=90°+∠CDN

∠NHG=∠CHG+∠CHN=90°+∠CHN

而∠CDN=∠CHN

∴∠ADN=∠NHG，

∴，

∴∠AND=∠NGH

又∵DN∥CH，∴∠AND=∠NPH，∴∠NGH=∠NPH

在△OPN和△OGH中

∠NPH=∠NGH，∠PON=∠GOH，

∴∠PNO=∠OGH=90°，

∴AN⊥GN

（3）由△ABC≌△EFG可得CD=BD=1，EH=AD=3

∵AD⊥BH，GH⊥BH

∴AD∥GH，∴，∴

又∵DH=DC+EH=1+3=4

∴DM=3，

∴CM=DM-DC=3-1=2.