题目内容
如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于D，且∠BCD=30°，BC=AC+AD．
求∠A的度数．
解：在CB上截取CE=CA，连接DE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵在△ACD和△ECD中，
，
∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD=DE，∠DEC=∠A，
∵BC=AC+AD，
∴BE+CE=AC+DE，
∴BE=DE，
∴∠B=∠BDE，
设∠B=x，
则∠DEC=∠A=2x，
∵∠BCD=30°，
∴∠BCA=60°，
∴x+2x+60°=180°，
∴x=40°，
∴∠A=80°．
分析：先在CB上截取CE=CA，连接DE，根据CD平分∠ACB，得出∠ACD=∠ECD，再根据SAS得出△ACD≌△ECD，得出AD=DE，∠DEC=∠A，再根据BC=AC+AD，求出∠B=∠BDE，再设∠B=x，得出∠DEC=∠A=2x，最后根据三角形的内角和是180°，求出x的值，从而得出∠A的度数．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
∵在△ACD和△ECD中，
，∴△ACD≌△ECD（SAS），
∴AD=DE，∠DEC=∠A，
∵BC=AC+AD，
∴BE+CE=AC+DE，
∴BE=DE，
∴∠B=∠BDE，
设∠B=x，
则∠DEC=∠A=2x，
∵∠BCD=30°，
∴∠BCA=60°，
∴x+2x+60°=180°，
∴x=40°，
∴∠A=80°．
分析：先在CB上截取CE=CA，连接DE，根据CD平分∠ACB，得出∠ACD=∠ECD，再根据SAS得出△ACD≌△ECD，得出AD=DE，∠DEC=∠A，再根据BC=AC+AD，求出∠B=∠BDE，再设∠B=x，得出∠DEC=∠A=2x，最后根据三角形的内角和是180°，求出x的值，从而得出∠A的度数．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，构造全等三角形．
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