Question

（2013•香坊区一模）已知E为△ABC内部一点，AE延长线交边BC于点D，连接BE、CE，∠BED=∠BAC=2∠DEC．

（1）如图①，若AC=AB，求证：BE=2AE；
（2）如图②，在（1）的条件下，将∠ABC沿BC翻折得到∠FBC，AE延长线经过点F，M为DF的中点，连接CM并延长交BF于点G．若CG=3

2

，AE=2DE，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）在EB上截取EF=AE，利用AAS即可证得△ABF≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）首先证明△ADC∽△FDB，即可证得△ABE∽△AFB，利用相似三角形的对应边的比相等利用a表示出AB的长，过A作AH⊥BC于H，连接CF，可以证明△ABH∽△FBC，则∠FCB=90°，从而求得AB的长，过C作CK⊥DF于K，设MK=x，证明△ADH∽△CDK，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得CD、BD的长．

解答：解：（1）在EB上截取EF=AE，设∠BED=2α，
∴∠FAE=∠AFE=α，
∴∠AEC=∠AFB，
∵∠CAD+∠BAD=∠BAC=2α，∠ABE+∠BAD=∠BED=2α，
∴∠CAE=∠ABE
∵在△ABF和△CAE中，

∠AEC=∠AFB ∠CAE=∠ABE AB=AC

，
∴△ABF≌△CAE（AAS），
∴BF=AE=EF，
∴BE=2AE，

（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠ABC=∠CBF，
∴∠ACB=∠CBF，
∴AC∥FB，
∴∠AFB=∠CAE，
∵∠ADC=∠BDF，
∴△ADC∽△FDB，由（1）知，∠CAE=∠ABE，
∴∠ABE=∠AFB，
∵∠BAF=∠BAF，
∴△ABE∽△AFB，
∴

AB

AE

=

AF

AB

，

BE

BF

=

AE

AB

，
由（1）知，BE=2AE，
∴BF=2AB，
∴BF=2AC，BD=2DC
∴DF=2AD，设AE=2a，
则DE=a，DM=MF=3a，
∴

AM

MF

=

CM

MG

=2
∴CM=2GM=2

2

∴AB²=AE•AF=18a，
∴AB=3

2

a，
过A作AH⊥BC于H，连接CF，
∵∠ABH=∠FBC，

BC

AH

=

BF

AB

=2，
∴△ABH∽△FBC，
∴∠FCB=90°，
∴CM=DM=3a=2

2

，
∴a=

2 2

3

，
∴AB=3

2

a=4，
过C作CK⊥DF于K，设MK=x，
∴CM²-KM²=AC²-AK²，
∴（2

2

）²-x²=4²-（4

2

-x）²，
∴x=

3 2

2

，
∴DK=

2

2

，
∵∠ADB=∠CDK，∠AHD=∠CKD，
∴△ADH∽△CDK，
∴

AD

CD

=

HD

DK

∵BD=2DC，BH=HC，
∴HD=

1

2

CD，
∴

2 2

CD

=

1 2 CD

2 2

，
∴CD=2，BD=4．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确利用相似三角形的性质对线段的比进行变化是关键．