题目内容

【题目】徐老师给爱好学习的小敏和小捷提出这样一个问题:如图1,ABC中,∠B=2C,AD是∠BAC的平分线.求证:AB+BD=AC

小敏的证明思路是:在AC上截取AE=AB,连接DE.(如图2)

小捷的证明思路是:延长CB至点E,使BE=AB,连接AE.可以证得:AE=DE(如图3)请你任意选择一种思路继续完成下一步的证明.

【答案】答案见解析

【解析】试题分析:小敏的方法是利用角平分线添加辅助线,构造全等三角形,ABDAED证明AB+BD=AC.小捷的方法构造等腰三角形AEC,EAD证明AB+BD=AC.

试题解析:

小敏的证明思路是:如图2,在AC上截取AE=AB,连接DE.(如图2)

ADBAC的平分线,

∠BAD=∠EAD,

ABDAED中,

AB=AE,

BAD=∠EAD,

AD=AD

∴△ABD≌AED(SAS),

BD=DE,∠ABD=∠AED

∵∠AED=∠EDC+∠C,∠B=2∠C,

∠EDC=∠C

DE=ECAB+BD=AC

小捷的证明思路是:如图3,延长CB至点E,使BE=AB,连接AE

∠E=∠BAE,

∵∠ABC=∠E+∠BAE

∴∠ABC=2∠E,

∠ABC=2∠C

∴∠E=C

∴△AEC是等腰三角形,

ADBAC的平分线,

∴∠BAD=∠DAC,

∵∠ADE=∠DAC+∠C,∠DAE=∠BAD+∠BAE

∴∠ADE=∠DAE

EA=ED=AC

AB+BD=AC.

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