题目内容

已知：如图，A是半径为2的⊙O上的一点，P是OA延长线上的一动点，过P作⊙O的切线，切点为B，设PA=m，PB=n．
（1）当n=4时，求m的值；
（2）⊙O上是否存在点C，使△PBC为等边三角形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由；
（3）当m为何值时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形？并直接答出：此时⊙O上能与PB构成等腰三角形的点共有几个？
（1）解法一：连接OB．

∵PB切⊙O于B，
∴∠OBP=90°，
∴PO2=PB2+OB2，
∵PO=2+m，PB=n，OB=2，
∴（2+m）2=n2+22m2+4m=n2；
n=4时，
解得：m1=-2
5
-2（舍去），m2=2
5
-2．
∴m的值为2
5
-2．
解法二：延长PO交⊙O于Q，PAQ为⊙O割线．
又∵PB切⊙O于B，
∴PB2=PA•PQ，
∵PB=n，PA=m，PO=m+4，
∴n2=m2+4m，
当n=4时，解得m1=-2
5
-2（舍去），m2=2
5
-2，
∴m的值为2
5
-2．

（2）存在点C，使△PBC为等边三角形；
当∠OPB=30°时，过点P作⊙O的另一条切线PC，C为切点，

∴PB=PC，∠OPB=∠OPC，
∴∠BPC=60°，∴△PBC为等边三角形；
连接OB，∠OBP=90°，OB=2，得OP=4，
∴m=PA=OP-OA=2．

（3）如图，设EF为线段PB的垂直平分线，垂足为D，当EF与⊙O相切于点M时，M符合要求；
连接OB、OM，
∵OB∥DM，OB=BD=OM=DM，∠OBD=90°，
∴四边形OMDB为正方形，

∴BD=DM=OM=2，
∴n=PB=4．
由（1）得n=4时，m=2
5
-2，
∴当m=2
5
-2时，⊙O上存在唯一点M和PB构成以PB为底的等腰三角形，
此时⊙O上共有3个点能与PB构成等腰三角形．
（这3点分别是M，M1，M2．其中M是PB中垂线与⊙O的切点，M1是延长BO与⊙O的交点，M2是点B关于OP的对称点）
练习册系列答案
相关题目
如图，⊙O是△ABC外接圆，直径AB=12，∠A=2∠B．
（1）∠A=______°，∠B=______°；
（2）求BC的长（结果用根号表示）；
（3）连接OC并延长到点P，使CP=OC，连接PA，画出图形，求证：PA是⊙O的切线．
如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
（1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长．
如图，⊙O的半径为5cm，直线l⊥OA交⊙O于点C、D，垂足为B，且CD=8cm，则直线l沿半径OA向下平移______cm时与⊙O相切．
如图，直线MN切⊙O于A，AB是⊙O的弦，∠MAB的平分线交⊙O于C，连接CB并延长交MN于N，如果AN=6，NB=4，那么弦AB的长是（　　）
A．
15
2
B．3C．5D．
10
3
如图所示，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移______cm时与⊙O相切．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是______．
P是⊙O外一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点C是劣弧AB上任意一点，经过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E．若PA=4，则△PDE的周长是（　　）
A．4B．8C．12D．不能确定
如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP=______°．

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