题目内容
【题目】如图,△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,以A为一个顶点的等边三角形ADE绕点A在∠BAC内旋转,AD、AE所在的直线与BC边分别交于点F、G.若点B关于直线AD的对称点为B′,当△FGB′是以点G为直角顶点的直角三角形时,BF的长为 .
【答案】4﹣4
【解析】
试题分析:作AH⊥BC于H,如图1,先根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出BC=4,再把△ACG绕点A顺时针旋转120°得到△ABG′,连结FG′、AB′,如图,则根据旋转的性质得BG′=CG,AG=AG,∠ABG′=∠C=30°,∠1=∠BAG′,所以∠FBG′=60°,再证明△AFG≌△AFG′得到FG=FG′,接着利用对称性质得FB=FB′,AB=AB′,∠2=∠3,易得∠1=∠4,AC=AB′,则可判断△AB′G与△ACG关于AG对称,得到GB′=GC,则GB′=BG′,然后证明△FB′G≌△FBG′得到∠FGB′=∠BG′F=90°,于是在Rt△BFG′中含30度的直角三角形三边的关系得BG′=BF,FG′=BF,则BF+BF+BF=BC=4,然后解关于BF的方程即可.
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