题目内容

如图（1）正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB=12，AE=6
2
．将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α（0°≤α≤45°）
（1）如图（2）正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE=DG；
（2）在旋转的过程中，当∠BEA=120°时，试求BE的长；
（3）BE的延长线交直线DG于点Q，当正方形AEFG由图（1）绕点A逆时针旋转45°，请直接写出旋转过程中点Q运动的路线长；
（4）在旋转的过程中，是否存在某时刻BF=BC？若存在，试求出DQ的长；若不存在，请说明理由．（点Q即（3）中的点）
（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，
∵∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∠DAG+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD
∠BAE=∠DAG
AE=AG
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE=DG；

（2）如图，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于H，
∵∠BEA=120°，
∴∠AEH=180°-120°=60°，
∵AE=6
2
，
∴AH=AE•sin60°=6
2
×
3
2
=3
6
，
EH=AE•cos60°=6
2
×
1
2
=3
2
，
在Rt△ABH中，BH=
AB2-AH2
=
122-(3
6
)2
=
90
=3
10
，
∴BE=BH-EH=3
10
-3
2
；

（3）∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
∴∠BQD=∠BAD=90°，
∴点Q的运动轨迹为以BD为直径的
AD
，所对的圆心角是90°，
∵AB=12，
∴BD=
2
AB=12
2
，
∴旋转过程中点Q运动的路线长=
90•π•12
2
360
=3
2
π；

（4）由勾股定理得，AF=
2
AE=
2
×6
2
=12，
∵BF=BC=12，
∴AB=AF=BF=12，
∴△ABF是等边三角形，
又∵AE=EF，
∴直线BE是AF的垂直平分线，
∴∠ABQ=
1
2
∠BAF=30°，
设BQ与AD相交于H，
则AH=AB•tan30°=12×
3
3
=4
3
，
∴DH=AD-AH=12-4
3
，
在Rt△DQH中，DQ=DH•cos30°=（12-4
3
）×
3
2
=6
3
-6．
练习册系列答案
相关题目
如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．
（1）如图1，求∠EFB的度数；
（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．
①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为______°；
②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．
如图，已知A（-3，1），B（-1，2），C（-2，3）
（1）将△ABC向右平移5个单位，再向下平移5个单位，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于直线x=1对称图形△A2B2C2；
（3）将△ABC绕原点逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3，并求出A点对应点A3的坐标．
如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按逆时针方向旋转45°，将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；再将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数）
（1）求点P6的坐标；
（2）求△P5OP6的面积；
（3）我们规定：把点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，3，…）的横坐标xn、纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Pn的“绝对坐标”．根据图中点Pn的分布规律，请你猜想点Pn的“绝对坐标”，并写出来．
如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直角，点C在AD边上，BC=
2
，把△ABC绕点A按顺时针方向旋转n度后恰好与△ADE重合，则n的值是______，点C经过的路线的长是______．
如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，看点A的坐标为（2，1），则点A′坐标为（　　）
A．（-1，-2）B．（-1，2）C．（-2，1）D．（-2，-1）
在平面内，旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而得到新位置图形的一种变换．
活动一：如图1，在Rt△ABC中，D为斜边AB上的一点，AD=2，BD=1，且四边形DECF是正方形，求阴影部分的面积．

小明运用图形旋转的方法，将△DBF绕点D逆时针旋转90°，得到△DGE（如图2所示），一眼就看出这题的答案，请你写出阴影部分的面积：______．
活动二：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠C=90°，BC=5，CD=3，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，求AE的长．

小明仍运用图形旋转的方法，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG（如图4所示），则①四边形AECG是怎样的特殊四边形？答：______．AE的长是______．
活动三：如图5，在四边形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，将BC按逆时针方向绕点B旋转90°得到线段BE，连接AE．若AB=2，DC=4，求△ABE的面积．
如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（-3，-1）、（-3，-3）、（-3+
3
，-2）．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A1B1C1，再以x轴为对称轴作△A1B1C1的对称图形，得△A2B2C2．
（1）直接写出点C1、C2的坐标；
（2）能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A2B2C2的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△ABC的位置发生变化时，△A2B2C2、△A1B1C1与△ABC之间的对称关系始终保持不变．
①当△ABC向上平移多少个单位时，△A1B1C1与△A2B2C2完全重合并直接写出此时点C的坐标；
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A1B1C1与△A2B2C2完全重合，此时α的值为多少点C的坐标又是什么？
已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°到线段AD，连接BD，下列结论：
①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB=150°；④S△APC+S△APB=6+
9
4
3
．
其中正确的结论有（　　）
A．1个B．2个C．3个D．4个

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