题目内容

如图，抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0),且与y轴交于点B(0,-12).

（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒2个单位沿射线AC方向运动；同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位沿射线BA方向运动，当点P到达点C处时，两点同时停止运动.问当t为何值时，△APQ∽△AOB？
（3）若M为线段AB上一个动点，过点M作MN平行于y轴交抛物线于点N．
①是否存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②当点M运动到何处时，四边形CBNA的面积最大？求出此时点M的坐标及四边形CBNA面积的最大值．
（1）；（2）；（3）①不存在；②当点M运动到（，－6）时，四边形CBNA的面积最大，四边形CBNA面积的最大值为．

试题分析：（1）应用待定系数法，设交点式求解；
（2）根据相似三角形的性质求解即可；
（3）①由MN＝OB＝12列式，根据一元二次方程根的判别式小于0得出不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形结论；②求出面积关于x的二次函数关系式，应用二次函数最值原理求解即可.
试题解析：（1）因抛物线过x轴上两点A(9,0),C(-3,0)，故设抛物线解析式为：.
又∵B(0,-12) ∴ ，解得a=。
∴抛物线的解析式为.
（2）∵OA=9，OB=12，∴AB=15.
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AP＝2t，AQ＝15－t.
又∵AC=12，∴0≤t≤6.
∵△APQ∽△AOB，∴，即，解得.
∴当时，△APQ∽△AOB.
（3）易求直线AB的函数关系式为．
设点M的横坐标为x，则M（x，），N（x，）．
①若四边形OMNB为平行四边形，则MN＝OB＝12
∴，即x2－9x＋27＝0.
∵△＜0，∴此方程无实数根.
∴不存在这样的点M，使得四边形OMNB恰为平行四边形．
②∵S四边形CBNA=S△ACB+S△ABN="72+" S△ABN
∵S△AOB＝54，S△OBN＝6x，S△OAN＝·9·＝－2x2＋12x＋54
∴S△ABN＝S△OBN＋S△OAN－S△AOB＝6x＋(－2x2＋12x＋54)－54＝－2x2＋18x＝.
∴当x＝时，S△ABN最大值＝，此时M（，－6）
S四边形CBNA最大=．
练习册系列答案
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若抛物线与轴的交点为,则下列说法不正确的是（  ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是
C．当时,的最大值为D．抛物线与轴的交点为和
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A(-1，0),B(4，0),C(0，-4),⊙M是△ABC的外接圆，M为圆心。

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（1）求的值
（2）求出点的坐标（其中用含的式子表示）：
（3）依点的变化,是否存在的值,使为等腰三角形？
抛物线的对称轴是（      ）
A．B．C．D．
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在直角梯形中, , 高(如图1). 动点同时从点出发, 点沿运动到点停止, 点沿运动到点停止,两点运动时的速度都是1cm/s,而当点到达点时,点正好到达点. 设同时从点出发,经过的时间为(s)时, 的面积为 (如图2). 分别以为横、纵坐标建立直角坐标系, 已知点在边上从到运动时, 与的函数图象是图3中的线段.

(图1)                      (图2)                (图3)
（1）分别求出梯形中的长度;
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若是二次函数，则m=      。
如图是二次函数图像的一部分,其对称轴是,且过点（－3,0）,下列说法：①②③<0 ④若（-5,y1）,(1,y2）是抛物线上两点,则,其中说法正确的是（   ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③④

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