题目内容
在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD中，边AB=2，边AD=1，且AB、AD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合．将矩形折叠，使点A落在边DC上，设点A′是点A落在边DC上的对应点．（1）当矩形ABCD沿直线y=-
| 1 | 2 |
（2）当矩形ABCD沿直线y=kx+b折叠时，
①求点A′的坐标（用k表示）；求出k和b之间的关系式；
②如果我们把折痕所在的直线与矩形的位置分为如图2、3、4所示的三种情形，请你分别写出每种情形时k的取值范围．（将答案直接填在每种情形下的横线上）k的取值范围是
分析：（1）设直线y=-
x+b与CD交于点E，与OB交于点F，连接A′O，则OE=b，OF=2b，设点A′的坐标为（a，1），根据△DOA′∽△OFE，所得
=
，即
=
，所以a=
．可得点A′的坐标为（
，1），连接A′E，则A′E=OE=b，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，即b2=（
）2+（1-b）2，解得b=
；
（2）设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A′O，则OE=b，OF=-
，设点A′的坐标为（a，1）可证△DOA′∽△OFE，所以
=
，即
=
，所以a=-k，A′点的坐标为（-k，1），连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b，根据A′E2=A′D2+DE2，得b2=（-k）2+（1-b）2，所以b=
．
（3）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，在题中图2中：-2≤k≤-1；图3中：-1≤k≤-2+
；图4中：-2+
≤k≤0．
| 1 |
| 2 |
| DA′ |
| OE |
| DO |
| OF |
| a |
| b |
| 1 |
| 2b |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 8 |
（2）设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A′O，则OE=b，OF=-
| b |
| k |
| DA′ |
| OE |
| DO |
| OF |
| a |
| b |
| 1 | ||
-
|
| k2+1 |
| 2 |
（3）根据图象和矩形的边长可直接得出k的取值范围，在题中图2中：-2≤k≤-1；图3中：-1≤k≤-2+
| 3 |
| 3 |
解答：
解：（1）如图1，设直线y=-
x+b与CD交于点E，与OB交于点F，与y轴交于G点，连接A'O，则OE=b，OF=2b，设点A′的坐标为（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴
=
，即
=
，
∴a=
，
∴点A′的坐标为（
，1），
连接A′E，则A′E=OE=b，
在Rt△DEA′中，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，
即b2=（
）2+（1-b）2，
解得b=
；
（2）如图1，设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A'O，则：
OE=b，OF=-
，
设点A′的坐标为（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴
=
，即
=
，
∴a=-k．
∴A′点的坐标为（-k，1）．（7分）
连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
∵A′E2=A′D2+DE2，
∴b2=（-k）2+（1-b）2，
∴b=
；
（3）在题中图2中：-2≤k≤-1；
图3中：-1≤k≤-2+
；
图4中：-2+
≤k≤0．
解：（1）如图1，设直线y=-| 1 |
| 2 |
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A′OF=90°，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴
| DA′ |
| OE |
| OD |
| OF |
| a |
| b |
| 1 |
| 2b |
∴a=
| 1 |
| 2 |
∴点A′的坐标为（
| 1 |
| 2 |
连接A′E，则A′E=OE=b，
在Rt△DEA′中，根据勾股定理有A′E2=A′D2+DE2，
即b2=（
| 1 |
| 2 |
解得b=
| 5 |
| 8 |
（2）如图1，设直线y=kx+b与OD交于点E，与OB交于点F，连接A'O，则：
OE=b，OF=-
| b |
| k |
设点A′的坐标为（a，1），
∵∠DOA′+∠A′OF=90°，∠OFE+∠A'OF=90度，
∴∠DOA′=∠OFE，
∴△DOA′∽△OFE，
∴
| DA′ |
| OE |
| DO |
| OF |
| a |
| b |
| 1 | ||
-
|
∴a=-k．
∴A′点的坐标为（-k，1）．（7分）
连接A′E，在Rt△DEA′中，DA′=-k，DE=1-b，A′E=b．
∵A′E2=A′D2+DE2，
∴b2=（-k）2+（1-b）2，
∴b=
| k2+1 |
| 2 |
（3）在题中图2中：-2≤k≤-1；
图3中：-1≤k≤-2+
| 3 |
图4中：-2+
| 3 |
点评：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
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