题目内容
(1)如图1,已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系?并证明.
(2)如图2,已知四边形ABCD中,AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,AB=AD,∠BAC=120°,∠MAN=60°,(1)中线段BM与DN之间的关系还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)张大爷有一块五变形的土地,如图3,已知AB=AE=6,BC=4,DE=3,∠BAE=2∠CAD,AB⊥BC于点B,AE⊥DE于点E,请你帮助张大爷计算这块土地的面积.
(2)如图2,已知四边形ABCD中,AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,AB=AD,∠BAC=120°,∠MAN=60°,(1)中线段BM与DN之间的关系还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.
(3)张大爷有一块五变形的土地,如图3,已知AB=AE=6,BC=4,DE=3,∠BAE=2∠CAD,AB⊥BC于点B,AE⊥DE于点E,请你帮助张大爷计算这块土地的面积.
考点:四边形综合题
专题:
分析:(1)延长CD到F,使DF=BM,连接AF,根据正方形性质得出AB=AD,∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°,∠BAD=90°,证△ABM≌△ADF,推出AM=AF,∠FAD=∠BAM,求出∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠NAM,证出△MAN≌△FAN即可;
(2)延长CD到F,使DF=BM,连接AF,证△ABM≌△ADF,推出AM=AF,∠FAD=∠BAM,求出∠FAN=∠NAM,证出△MAN≌△FAN即可;
(3)延长DE到F,使EF=BC,连接AF,证△ABC≌△AEF,推出AC=AF,∠FAE=∠BAC,求出∠FAD=∠DAC,证△FAD≌△CAD,得出S△DAC=S△FAD=S△EAD+S△BAC,推出这块土地的面积是2S△FAD,代入求出即可.
(2)延长CD到F,使DF=BM,连接AF,证△ABM≌△ADF,推出AM=AF,∠FAD=∠BAM,求出∠FAN=∠NAM,证出△MAN≌△FAN即可;
(3)延长DE到F,使EF=BC,连接AF,证△ABC≌△AEF,推出AC=AF,∠FAE=∠BAC,求出∠FAD=∠DAC,证△FAD≌△CAD,得出S△DAC=S△FAD=S△EAD+S△BAC,推出这块土地的面积是2S△FAD,代入求出即可.
解答:
(1)MN=BM+DN,
证明:延长CD到F,使DF=BM,连接AF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°,∠BAD=90°,
在△ABM和△ADF中
∴△ABM≌△ADF,
∴AM=AF,∠FAD=∠BAM,
∵∠DAB=90°,∠NAM=45°,
∴∠DAN+∠BAM=45°,
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=45°=∠NAM,
在△MAN和△FAN中
∴△MAN≌△FAN,
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN.
(2)还成立,
证明:延长CD到F,使DF=BM,连接AF,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,
∴∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°,
在△ABM和△ADF中
∴△ABM≌△ADF,
∴AM=AF,∠FAD=∠BAM,
∵∠DAB=120°,∠MAN=60°,
∴∠DAN+∠BAM=60°,
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=60°=∠NAM,
在△MAN和△FAN中
∴△MAN≌△FAN,
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN.
(3)解:延长DE到F,使EF=BC,连接AF
∵AB⊥BC,AE⊥DE,
∴∠ABC=∠AED=∠AEF=90°,
在△ABC和△AEF中
∴△ABC≌△AEF,
∴AC=AF,∠FAE=∠BAC,
∵∠BAE=2∠DAC,
∴∠DAE+∠BAC=∠DAC,
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD=∠BAC+∠EAD=∠DAC,
在△FAD和△CAD中
∴△FAD≌△CAD,
∴S△DAC=S△FAD=S△EAD+S△BAC,
即这块土地的面积是2S△FAD=2×
DF×AE=(4+3)×6=42.
(1)MN=BM+DN,
证明:延长CD到F,使DF=BM,连接AF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°,∠BAD=90°,
在△ABM和△ADF中
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∴△ABM≌△ADF,
∴AM=AF,∠FAD=∠BAM,
∵∠DAB=90°,∠NAM=45°,
∴∠DAN+∠BAM=45°,
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=45°=∠NAM,
在△MAN和△FAN中
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∴△MAN≌△FAN,
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN.
(2)还成立,
证明:延长CD到F,使DF=BM,连接AF,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,
∴∠ABM=∠ADN=∠ADF=90°,
在△ABM和△ADF中
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∴△ABM≌△ADF,
∴AM=AF,∠FAD=∠BAM,
∵∠DAB=120°,∠MAN=60°,
∴∠DAN+∠BAM=60°,
∴∠FAN=∠FAD+∠DAN=∠BAM+∠DAN=60°=∠NAM,
在△MAN和△FAN中
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∴△MAN≌△FAN,
∴MN=NF=DF+DN=BM+DN.
(3)解:延长DE到F,使EF=BC,连接AF
∵AB⊥BC,AE⊥DE,
∴∠ABC=∠AED=∠AEF=90°,
在△ABC和△AEF中
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∴△ABC≌△AEF,
∴AC=AF,∠FAE=∠BAC,
∵∠BAE=2∠DAC,
∴∠DAE+∠BAC=∠DAC,
∴∠FAD=∠FAE+∠EAD=∠BAC+∠EAD=∠DAC,
在△FAD和△CAD中
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∴△FAD≌△CAD,
∴S△DAC=S△FAD=S△EAD+S△BAC,
即这块土地的面积是2S△FAD=2×
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点评:本题考查了全等三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力,证明过程类似.
练习册系列答案
相关题目
如图所示,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连接DN,EM.若AB=10cm,BC=16cm,DE=4cm,则图中阴影部分的面积为( )
A、2 | B、3 | C、4 | D、6 |
已知
(x≠y),则
+
的值是( )
|
y |
x |
x |
y |
A、2+2
| ||
B、-2-2
| ||
C、2-
| ||
D、2+
|
关于x的一元二次方程x2-2x-m2=0(m为常数)的根的情况是( )
A、有两个不等的实数根 |
B、有两个相等的实数根 |
C、没有实数根 |
D、无法确定 |