题目内容

(2013•宛城区一模)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以A,C为圆心,以大于
1
2
AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;
②作直线MN,分别交于AB,AC于点D,O;
③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.
(1)求证:四边形ADCE是菱形;
(2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,tan∠DAO=
3
4
3
4
分析:(1)首先根据作法可知:直线DE是线段AC的垂直平分线进而得到AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,且AD=CD,AO=CO,然后证明△AOD≌△COE,进而得到OD=OE,从而可判定四边形ADCE是菱形;
(2)首先根据菱形的性质可得AC⊥DE,AO=CO,然后证明DO=
1
2
BC=3,再利用勾股定理计算出AO的长,进而得到答案.
解答:(1)证明:由作法可知:直线DE是线段AC的垂直平分线,
∴AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,且AD=CD,AO=CO.
又∵CE∥AB,
∴∠ADO=∠CEO.
在△ADO和△CEO中,
AO=CO
∠AOD=∠COE
∠ADO=∠CEO

∴△AOD≌△COE(AAS).
∴OD=OE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
又AD=CD,
∴四边形ADCE是菱形.

(2)解:∵四边形ADCE是菱形,
∴AC⊥DE,
∴∠AOD=90°,
∵∠ACB=90°,
∴DC∥CB,
∴△ADO∽△ABC,
AO
AC
=
DO
CB
=
1
2

∵BC=6,
∴DO=3,
∵AD=DC,AO=CO,△ADC的周长为18,
∴AD+AO=9,
设AO=x,则AD=9-x,
(9-x)2=32+x2
解得:x=4,
∴tan∠DAO=
3
4

故答案为:
3
4
点评:此题主要考查了菱形的判定与性质,以及勾股定理的应用,关键是掌握线段垂直平分线的作法.
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