Question

已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，直线AD与BC间的距离是4厘米
（1）如图，若∠ABC的平分线BE交CD的延长线于E，且BC=CE=5厘米，求四边形ABCD的面积．
（2）若∠ABC=∠DCB，AD+BC=8厘米，连接AC、BD，求证：AC⊥BD．

Answer 1

分析：（1）利用角平分线的性质得出∠1=∠2，再利用等角对等边得出∠2=∠E，即可得出∠1=∠E，AB∥EC，再利用平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可求出面积；
（2）根据已知画出图形，再利用平行四边形的判定以及等腰梯形的判定和直角三角形的判定得出答案即可．

解答：（1）解：如图1，∵∠ABC的平分线BE交CD的延长线于E，
∴∠1=∠2，
∵BC=CE=5厘米，
∴∠2=∠E，
∴∠1=∠E，
∴AB∥EC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积为：底乘以高=BC×4=5×4=20（平方厘米）；

（2）证明：如图2，点D作DE∥AC交BC延长线于E，作DF⊥BC，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，AC=DE，
则BE=BC+CE=AD+BC=8cm，
∵∠ABC=∠DCB，AD∥BC，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴DF也是△BDE的中线，
又∵BE=2DF，
∴△BDE是直角三角形，
则∠BOC=∠BDE=90°，
故AC⊥BD．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及等腰梯形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知作出延长底边作对角线的平行线是解题关键．