Question

【题目】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）．

（1）当t=s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2.5
（2）

解：分两种情况，讨论如下：

①若△EBF∽△FCG，

则有 ，即 ，

解得：t=2.8；

②若△EBF∽△GCF，

则有 ，即 ，

解得：t=﹣14﹣2 （不合题意，舍去）或t=﹣14+2 ．

∴当t=2.8s或t=（﹣14+2 ）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似

（3）

解：假设存在实数t，使得点B′与点O重合．

如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM= BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，

由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，

即：52+（6﹣3t）2=（3t）2

解得：t= ；

过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，

由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，

即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2

解得：t=3.9．

∵ ≠3.9，

∴不存在实数t，使得点B′与点O重合

【解析】解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，BE=10﹣t，BF=3t，
即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF与△FCG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的应用，掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解即可以解答此题．