Question

已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上以每秒1个单位的速度由C向B运动．

(1) 求梯形ODPC的面积S与时间t的函数关系式；
(2) 在线段PB上是否存在一点Q，使得ODQP为菱形．若存在求t值；若不存在，说明理由；
(3) 当△OPD为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

（1）（2）在线段PB上存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形，此时；（3）P1(3，4)   P2(2.5，4)   P3(2，4)   P4(8，4)

试题分析：解：(1) ∵A(10，0)，C(0，4)
∴OA=10，OC=4
∵点D是OA的中点
∴OD=5
∴                     
(2) 假设在线段PB上存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形（如图）

连结OP、DQ
∵四边形ODQP为菱形
∴OP=OD=5
∵∠OCB=90°
∴OC2+PC2=OP2
∴PC=
∴
此时，PB=
∴在线段PB上存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形，此时    
(3) 当△OPD为等腰三角形时，有以下几种情况：
P1(3，4)   P2(2.5，4)   P3(2，4)   P4(8，4)              
点评：本题难度系数中等，综合考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的运用．