Question

【题目】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．

（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=12，EC=5．
①求证：AF⊥BD，
②求AF的长度；
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）①证明：如图1，

∵AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AF⊥BD．

②解：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴BD=13，

∵S△ABD= AD·BC= BD·AF，∴AF= ．

（法2：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴AE=BD=13，BE=7，设EF=x，

∵∠BFE=90°，∴BF2=BE2-EF2，BF2=AB2-AF2，∴72-x2=288-（13+x）2，

∴x= ，∴AF=13+ = ．）

（2）证明：如图4，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，

∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD．

（3）解：∠AFG=45°．

如图4，

过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，∵S△ACE= AE·CN，

S△BCD= BD·CM，∴，

∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．

（法2：过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，∵CM⊥BD，CN⊥AE，

∴∠BMC=∠ANC=90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，∵∠BMC=∠ANC=90°，∠1=∠2，

AC=BC，∴△BCM≌△ACN，∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．）

【解析】（1）①由题中标志性条件”AC=BC，EC=DC“可证△ACE≌△BCD，对应角相等，进而可证出垂直；②利用的结论转化AE=BD，EC=ED，利用面积法求出AF的长；（2）借鉴（1）的思路方法，仍然证△ACE≌△BCD，进而证出AF⊥BD；（3）由（2）的结论，可根据面积相等，底边相等，则高相等，即到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，得出CF平分∠BFE，进而得出∠AFG=45°.