Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．

（1）求证：四边形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F为AB的中点，OF =4，求菱形BPEQ的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）25.

【解析】分析：（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；

（2）由三角形中位线定理得AE的长，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，由勾股定理可求得y的值，即可得到结论．

详解：（1）∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE．

∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，

在△BOQ与△EOP中．

∵∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE=QB，

又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，

又∵QB=QE，∴四边形BPEQ是菱形；

（2）∵O，F分别为PQ，AB的中点，OF=4 ∴AE=8，

设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，62+（8-y）2=y2，解得：y=，

∴菱形BPEQ的周长=25．