Question

【题目】如图，⊙A过OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）．

（1）若∠BOH=30°，求点H的坐标；

（2）求证：直线PC是⊙A的切线；

（3）若OD=，求⊙A的半径．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论；
（2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．

（1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M．

∵四边形OBCD是平行四边形，

∴∠B=∠ODC

∵四边形OHCD是圆内接四边形

∴∠OHB=∠ODC

∴∠OHB=∠B

∴OH=OB=2

∴在Rt△OMH中，

∵∠BOH=30°，

∴MH=OH=1，OM=MH=，

∴点H的坐标为（1，﹣），

（2）连接AC．

∵OA=AD，

∴∠DOF=∠ADO

∴∠DAE=2∠DOF

∵∠PCD=2∠DOF，

∴∠PCD=∠DAE

∵OB与⊙O相切于点A

∴OB⊥OF

∵OB∥CD

∴CD⊥AF

∴∠DAE=∠CAE

∴∠PCD=∠CAE

∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°

∴直线PC是⊙A的切线；

（3）解：⊙O的半径为r．

在Rt△OED中，DE=CD=OB=1，OD= ，

∴OE═3

∵OA=AD=r，AE=3﹣r．

在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1

解得r=．