Question

如图，ABCD是边长为a的正方形，以A为圆心，AD为半径的圆弧与以CD为直径的半圆交于另一点P，过P作⊙A的切线分别交BC、CD于M、N两点，则=________．

Answer 1

分析：如图，连接AN、DP、AP，证明DP垂直于AN，根据相交两圆性质，N在连心线上，所以N为圆心，从而在△MNC中，利用勾股定理求解．
解答：解：如图，连接AN、DP、AP．
∵AP=AD，
∴△APD是等腰三角形；
又∵MN是⊙A的切线，AD⊥DN，
∴∠PAN=∠DAN；
∴AN⊥PD；
而点A圆心，N在连心线上，
∴点N是圆心，
∴ND=NC=；
∵MN是⊙A的切线，AB⊥BM，
∴BM=PM；
同理，DN=PN；
∴在直角三角形MNC中，（PM+PN）²=CM²+CN²，即（BM+）²=（a-BM）²+（）²，
解得，BM=，
∴===；
故答案是：．
点评：本题考查了切线的定理、两相交圆的性质以及勾股定理．解答该题的关键是证明N是CD的中点．