Question

（2012•东城区二模）阅读并回答问题：
小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程x²=-1时，突发奇想：x²=-1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使 i²=-1，那么当x²=-1时，有x=±i，从而x=±i是方程x²=-1的两个根．
据此可知：（1）i可以运算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，则i⁴=

1

，i²⁰¹¹=

-i

，i²⁰¹²=

1

；
（2）方程x²-2x+2=0的两根为

1+i或1-i

（根用i表示）．

Answer 1

分析：（1）根据 i²=-1可将i⁴化为i²•i²；i²⁰¹¹=（i²）¹⁰⁰⁵•i；i²⁰¹²=（i²）¹⁰⁰⁶•i进行计算即可；
（2）先根据-1=i²求出△的值，再由公式法求出x的值即可．

解答：解：（1）∵i²=-1，
∴i⁴=i²•i²=（-1）×（-1）=1；
i²⁰¹¹=（i²）¹⁰⁰⁵•i=（-1）¹⁰⁰⁵•i=-i；
i²⁰¹²=（i²）¹⁰⁰⁶•i=（-1）¹⁰⁰⁶•i=i．
故答案为：1，-i，1．

（2）∵△=（-2）²-4×1×2=-4，i²=-1，
∴△=4i²，
∴方程x²-2x+2=0的两根为x=

2±2i

2×1

=1±i，即x=1+i或x=1-i．
故答案为：1+i或1-i．

点评：本题考查的是用公式法求一元二次方程的根，先根据题中所给的材料记住i²=-1是解答此题的关键．