Question

已知平行于x轴的直线y=a（a≠0）与函数y=x和函数的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）。

（1）若a>0，且tan∠POB=，求线段AB的长；
（2）在过A、B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中，已知线段，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；
（3）已知经过A、B、P三点的抛物线，平移后能得到的图象，求点P到直线AB的距离。

Answer 1

解：（1）设第一象限内的点B（m，n），则tan∠POB=，得m=9n，
又点B在函数的图象上，得，
所以m=3（-3舍去），点B为，
而AB∥x轴，所以点，
所以；
（2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点A（a，a），，则，
所以3a²+8a-3=0，解得a=-3或，
当a=-3时，点A（-3，-3），，
因为抛物线顶点在y=x上，所以顶点为，
所以可设抛物线的解析式为，把点A代入，解得，
所以所求抛物线的解析式为，
同理，当时，所求抛物线的解析式为；
（3）设A（a，a），，由条件可知抛物线的对称轴为x=，
设所求抛物线的解析式为：，把点A（a，a）代入，解得a₁=3，，所以点P到直线AB的距离为3或。