题目内容
已知平行于x轴的直线y=a(a≠0)与函数y=x和函数y=1 |
x |
(1)若a>0,且tan∠POB=
1 |
9 |
(2)在过A,B两点且顶点在直线y=x上的抛物线中,已知线段AB=
8 |
3 |
(3)已知经过A,B,P三点的抛物线,平移后能得到y=
9 |
5 |
分析:(1)设B点坐标为(m,n),利用三角函数求出m与n的值以及点A的坐标.
(2)依题意可知抛物线开口向下,设点A(a,a),B(
,a)求出a值.设二次函数为y=k(x+
)2把点A代入求得k值以及函数解析式.
(3)依题意可求出抛物线的对称轴为x=
+
.把点A的坐标代入解析式求出a值.
(2)依题意可知抛物线开口向下,设点A(a,a),B(
1 |
a |
5 |
3 |
(3)依题意可求出抛物线的对称轴为x=
a |
2 |
1 |
2a |
解答:解:(1)设第一象限内的点B(m,n),
则tan∠POB=
=
,
得m=9n,
又点B在函数y=
的图象上,得n=
,
所以m=3(-3舍去),
点B为(3,
),
而AB∥x轴,所以点A(
,
),
所以AB=3-
=
.
(2)由条件可知所求抛物线开口向下,
设点A(a,a),B(
,a),
则AB=
-a=
,
所以3a2+8a-3=0,
解得a=-3或a=
.
当a=-3时,点A(-3,-3),B(-
,-3),
因为顶点在y=x上,
所以顶点为(-
,-
),
所以可设二次函数为y=k(x+
)2-
,
点A代入,解得k=-
,
所以所求函数解析式为y=-
(x+
)2-
同理,当a=
时,所求函数解析式为y=-
(x-
)2+
;
(3)设A(a,a),B(
,a),由条件可知抛物线的对称轴为x=
+
,
设所求二次函数解析式为:y=
(x-2)(x-(a+
)+2),
点A(a,a)代入,
解得a1=3,a2=
,
所以点P到直线AB的距离为3或
.
则tan∠POB=
n |
m |
1 |
9 |
得m=9n,
又点B在函数y=
1 |
x |
1 |
m |
所以m=3(-3舍去),
点B为(3,
1 |
3 |
而AB∥x轴,所以点A(
1 |
3 |
1 |
3 |
所以AB=3-
1 |
3 |
8 |
3 |
(2)由条件可知所求抛物线开口向下,
设点A(a,a),B(
1 |
a |
则AB=
1 |
a |
8 |
3 |
所以3a2+8a-3=0,
解得a=-3或a=
1 |
3 |
当a=-3时,点A(-3,-3),B(-
1 |
3 |
因为顶点在y=x上,
所以顶点为(-
5 |
3 |
5 |
3 |
所以可设二次函数为y=k(x+
5 |
3 |
5 |
3 |
点A代入,解得k=-
3 |
4 |
所以所求函数解析式为y=-
3 |
4 |
5 |
3 |
5 |
3 |
同理,当a=
1 |
3 |
3 |
4 |
5 |
3 |
5 |
3 |
(3)设A(a,a),B(
1 |
a |
a |
2 |
1 |
2a |
设所求二次函数解析式为:y=
9 |
5 |
1 |
a |
点A(a,a)代入,
解得a1=3,a2=
6 |
13 |
所以点P到直线AB的距离为3或
6 | ||||
|
点评:本题考查的是二次函数的综合运用,较为复杂.
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