题目内容
（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2-4x-2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．
①当PQ⊥AC时，求t的值；
②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．
分析：（1）已知抛物线的解析式，将x=0代入即可得A点坐标；由于四边形OABC是矩形，那么A、B纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B点坐标，则AB长可求．
（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；
②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的．
（2）①Q点的位置可分：在OA上、在OC上、在CB上 三段来分析，若PQ⊥AC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t的取值范围，然后通过相似三角形（或构建相似三角形），利用比例线段来求出t的值，然后由t的取值范围将不合题意的值舍去；
②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC，通过比例线段求出t的值以及P、Q点的坐标，可判定P点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有∠H1OQ=∠POQ，显然若做点H1关于OQ的对称点H2，那么亦可得到∠H2OQ=∠POQ，而题干要求的是∠HOQ＞∠POQ，那么H1点以下、H2点以上的H点都是符合要求的．
解答：解：（1）由抛物线y=x2-4x-2知：当x=0时，y=-2，
∴A（0，-2）．
由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；
当y=-2时，-2=x2-4x-2，解得x1=0，x2=4，
∴B（4，-2），
∴AB=4．
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜
时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴
=
，即
=
，
∴t=
．
∵
＞
，
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，
≤t＜
时，
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴
=
，即
=
，∴t=
，
∵
＜
＜
，
∴t=
符合题意．
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，
≤t≤
时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=
时，有PQ⊥AC．
②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴
=
，
∴
=
，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，
有∠H1OQ=∠POQ，
∴当yH＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=
，
∵S△OPQ=S四边形ABCO-S△AOP-S△COQ-S△QBP=3=
OQ×PM，
∴PM=
，
∴PP′=2PM=
，
∵P′N∥OC，
∴∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴
=
，
∴P′N=
，PN=
，
∴P′（
，
），
∴直线OP′的解析式为y=
x，
∴OP′与NP的交点H2（2，
）．
∴当yH＞
时，∠HOP＞∠POQ．
综上所述，当yH＜-2或yH＞
时，∠HOQ＞∠POQ．
∴A（0，-2）．
由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，即A、B的纵坐标相同；
当y=-2时，-2=x2-4x-2，解得x1=0，x2=4，
∴B（4，-2），
∴AB=4．
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，
Q点移动路程为7（t-1）=7t-7．
当Q点在OA上时，即0≤7t-7＜2，1≤t＜
| 9 |
| 7 |
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC．
∴
| QA |
| AB |
| AP |
| BC |
| 7t-7 |
| 4 |
| t |
| 2 |
∴t=
| 7 |
| 5 |
∵
| 7 |
| 5 |
| 9 |
| 7 |
∴此时t值不合题意．
当Q点在OC上时，即2≤7t-7＜6，
| 9 |
| 7 |
| 13 |
| 7 |
如图2，过Q点作QD⊥AB．
∴AD=OQ=7（t-1）-2=7t-9．
∴DP=t-（7t-9）=9-6t．
若PQ⊥AC，易证Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴
| QD |
| AB |
| DP |
| BC |
| 2 |
| 4 |
| 9-6t |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
∵
| 9 |
| 7 |
| 4 |
| 3 |
| 13 |
| 7 |
∴t=
| 4 |
| 3 |
当Q点在BC上时，即6≤7t-7≤8，| 13 |
| 7 |
| 15 |
| 7 |
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，
则QG⊥PG，即∠GQP=90°．
∴∠QPB＞90°，这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直．
综上所述，当t=
| 4 |
| 3 |
②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，
∴
| BP |
| BA |
| BQ |
| BC |
∴
| 4-t |
| 4 |
| 8-7(t-1) |
| 2 |
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC．
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，-2），Q（4，-1）．
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H1为对称轴与OP的交点时，
有∠H1OQ=∠POQ，
∴当yH＜-2时，∠HOQ＞∠POQ．
作P点关于OQ的对称点P′，连接PP′交OQ于点M，
过P′作P′N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP′，
在Rt△OCQ中，∵OC=4，CQ=1．
∴OQ=
| 17 |
∵S△OPQ=S四边形ABCO-S△AOP-S△COQ-S△QBP=3=
| 1 |
| 2 |
∴PM=
6
| ||
| 17 |
∴PP′=2PM=
12
| ||
| 17 |
∵P′N∥OC，
∴∠NPP′=∠COQ．
∴△COQ∽△NPP′
∴
| CQ |
| OQ |
| P′N |
| PP′ |
∴P′N=
| 12 |
| 17 |
| 48 |
| 17 |
∴P′（
| 46 |
| 17 |
| 14 |
| 17 |
∴直线OP′的解析式为y=
| 7 |
| 23 |
∴OP′与NP的交点H2（2，
| 14 |
| 23 |
∴当yH＞
| 14 |
| 23 |
综上所述，当yH＜-2或yH＞
| 14 |
| 23 |
点评：函数的动点问题是较难的函数综合题，在解题时要寻找出关键点，然后正确的进行分段讨论，做到不重复、不漏解．
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