题目内容

【题目】己知:为等边三角形,点E为射线AC上一点,点D为射线CB上一点,

(1)如图1,当EAC的延长线上且时,AD的中线吗?请说明理由;

(2)如图2,当EAC的延长线上时,等于AE吗?请说明理由;

(3)如图3,当D在线段CB的延长线上,E在线段AC上时,请直接写出ABBDAE的数量关系.

【答案】(1)是,理由见解析;(2),理由见解析;(3).

【解析】

(1)由等边三角形的性质得∠BAC=∠ACD=60°,由等腰三角形的性质得∠CDE=E,再根据三角形外角的性质可得∠E=30°,继而可得 DAC=∠E=30°,得出AD平分∠BAC,由此即可得AD是△ABC的中线;

(2)AB上取BH=BD,连接DH,利用AHD≌△DCE得出DH=CE,得出AE=AB+BD

(3)AB上取AF=AE,连接DF,利用△AFD≌△EFD得出角的关系,得出△BDF是等腰三角形,根据边的关系得出结论AB-BD=AE

(1)是,理由如下:

△ABC是等边三角形,

∴∠BAC=∠ACD=60°

CE=CD

∠CDE=E

∠ACD=∠E+∠CDE

∠E=30°

AD=DE

DAC=∠E=30°

∴∠DAC=∠BAC

AD平分∠BAC

AD是△ABC的中线;

(2),理由如下:

如图2,在AB上取BH=BD,连接DH

△ABC是等边三角形,

∴∠BAC=∠ACD=B=60°AB=AC

∴∠DCE=120°△BDH是等边三角形,

DH=BD,∠DHB=60°

∠AHD=120°,∠DHB=CAB

∠DCE=AHDDH//AC

AD=DE

∴∠E=∠DAC

DH//AC

∠HAD=∠DAC

∠HAD=∠E

△ADH≌△DEC

DH=CE

CE=BD

AB+BD=AC+CE=AE

(3)AE=AB-BD,理由如下:

如图3,在AB上取AF=AE,连接DFEF

△ABC是等边三角形,

∴∠BAC=ABC=60°

△AEF是等边三角形,

AF=EF,∠AFE=AFE=∠FAE=60°

∴∠AFE=∠ABC

EF//BC

∴∠FED=∠EDB

AD=DEDF=DFAF=EF

△ADF≌△EDF

∴∠DAF=∠DEF,∠ADF=∠EDF

∵∠DFB=∠DAF+∠ADF∠FDB=∠EDF+EDB

∴∠DFB=∠FDB

BD=BF

AB-BF=AF

∴AB-BD=AE.

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