Question

【题目】综合题
（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．

（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°﹣∠DCB =∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=120°，
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°
（2）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°
∴CA=CB，CD=CE．
且∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE为等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC=135°，
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．
∵CD=CE，CM⊥DE，
∴DM=ME．
∵∠DCE=90°，
∴DM=ME=CM．
∴AE=AD+DE=BE+2CM
【解析】（1） 抓住已知条件△ACB和△DCE均为等边三角形，得出CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，观察图形证明∠ACD =∠BCE，再利用SAS证明△ACD≌△BCE，得出∠ADC=∠BEC，然后求出∠ADC的度数，就可得出∠BEC的度数，利用∠AEB=∠BEC﹣∠CED，得出结果即可。
（2）根据已知易证△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质证出AD=BE，∠ADC=∠BEC．再求出∠ADC、∠BEC的度数，去证明∠AEB是直角，然后证明DM=ME=CM，就可证得线段CM，AE，BE之间的数量关系。