Question

阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线y=x²-2mx+m²+2m-1…（1）
得：y=（x-m）²+2m-1…（2）
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m-1），设顶点为P（x₀，y₀），则：

x0=m        …(3) y0=2m-1  …(4)

当m的值变化时，顶点横、纵坐标x₀，y₀的值也随之变化，将（3）代入（4）
得：y₀=2x₀-1．…（5）
可见，不论m取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x-1．
解答问题：
①在上述过程中，由（1）到（2）所用的数学方法是

 

，其中运用的公式是

 

．由（3）、（4）得到（5）所用的数学方法是

 

．
②根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x²-2mx+2m²-4m+3的顶点纵坐标y与横坐标x之间的函数关系式．
③是否存在实数m，使抛物线y=x²-2mx+2m²-4m+3与x轴两交点A（x₁，0）、B（x₂，0）之间的距离为AB=4，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由（提示：|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂）．

Answer 1

分析：（1）利用配方法把二次函数的一般式配成顶点式，通过消元可得到抛物线的顶点坐标都满足的函数关系；
（2）根据（1）给的方法：先配成y=（x-m）²+2m²-4m+2，得到顶点坐标，然后消去m，得到y与x的关系式；
（3）先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，然后利用AB=|x₁-x₂|，通过变形得到AB=

-4(m-2) 2+4

，即可得到AB的最大值为2，由此得到不存在实数m，使AB=4．

解答：解：（1）配方法；完全平方公式；消元法；

（2）y=x²-2mx+2m²-4m+3=（x-m）²+2m²-4m+2，
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m²-4m+2），设顶点为P（x₀，y₀），则：

x0=m y0=2m2-4m+2

，
当m的值变化时，顶点横、纵坐标x₀，y₀的值也随之变化，
∴y₀=2x₀²-4x₀+2，
可见，不论m取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x²-4x+2；

（3）不存在．理由如下：
∵抛物线y=x²-2mx+2m²-4m+3与x轴两交点A（x₁，0）、B（x₂，0），
∴x²-2mx+2m²-4m+3=0的两个根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2m，x₁•x₂=2m²-4m+3，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2) 2-4x 1 x2

=

(2m) 2-4(2m2-4m+3)

=

-4(m-2) 2+4

，
∴AB的最大值为2，
∴不存在实数m，使AB=4．

点评：本题考查了二次函数综合题：抛物线的顶点式y=a（x-h）²+k（a≠0），则顶点坐标为（h，k）；抛物线与x轴两交点的距离．也考查了代数式的变形能力．