题目内容
【题目】如图1,抛物线与x轴交于A(1,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上一点D,满足,求点D的坐标;
(3)如图2,已知N(0,1),将抛物线在点A、B之间部分(含点A、B)沿轴向上翻折,得到图象T(虚线部分),点M为图象T的顶点,现将图象T保持其顶点在直线MN上平移,得到的图象T1与线段BC至少有一个交点,求图象T1的顶点横坐标的取值范围.
【答案】(1)y=x2-5x+4;(2) D(;(3)
【解析】试题分析:(1)待定系数法解抛物线的解析式;
(2)分两种情况讨论:当D在直线AC的左侧时和当D在直线AC的右侧时,求得点D的坐标;
(3)两种极值情况求得m的值,两值之间范围即符合题意
试题解析:
(1)将A(1,0),B(4,0)代入抛物线的解析式得:
解得:b=-5,c=4
∴抛物线的解析式为:
(2)∵A(1,0),C(0,4)
∴直线AC的解析式为
当D在直线AC的左侧时,∵
∴OD∥AC
∴直线OD的解析式为
∴
方程组无解,
∴D不在直线AC的左侧
当D在直线AC的右侧时,在x轴上取点M(2,0),则,
过点M作直线DM∥AC交抛物线于点D,则直线DM的解析式为,
∴
解得,
∴D(,
)或(
,
)
(3)解:设抛物线:的顶点为G,则点G(2.5,-2.25)关于x轴
对称点M的坐标为:M(2.5,2.25),
又∵N(0,1)解得直线MN:,
∵图象T顶点在直线MN上,
∴设图象T1顶点为
如图,由点A(1,0)与M(2.5,2.25)的坐标关系,得到点A的对应点,即
又BC:
当点K在BC上时,,
∴
∴,
∵,
∴点K在线段BC上,
设图象T1所在抛物线方程为:,点L为直线BC与抛物线的交点,则点L的坐标满足下列方程组:
点L的横坐标是方程:的解
当图象T1与直线BC相切时有:
=0
∴
∴,
∵,
∴点L在图象T1上
∵,
∴点L在线段BC上
∴图象T1顶点横坐标的取值范围:.
