Question

如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF=

1

2

BD．
（2）若四边形BDFE的面积为8，求△AEF的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意可推出△ADC为等腰三角形，CF为顶角的角平分线，所以也是底边上的中线和高，因此F为AD的中点，所以EF为△ABD的中位线，即EF=

1

2

BD；
（2）根据（1）的结论，可以推出△AEF∽△ABD，且S_△AEF：S_△ABD=1：4，所以S_△AEF：S_{四边形BDEF}=1：3，即可求出△AEF的面积．

解答：解：（1）∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，
∴F为AD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=

1

2

BD，

（2）∵EF为△ABD的中位线，
∴EF=

1

2

BD，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∵S_△AEF：S_△ABD=1：4，
∴S_△AEF：S_{四边形BDEF}=1：3，
∵四边形BDFE的面积为8，
∴S_△AEF=

8

3

．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S_△AEF：S_△ABD=1：4．