题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
解：∵C（0，3），即OC=3，BC=5，
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB= 
=4，即B（4，0），
把B与C坐标代入y=kx+n中，得： 
，
解得：k=﹣ 
，n=3，
∴直线BC解析式为y=﹣ x+3；
由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，
把C（0，3）代入得：a= ，
则抛物线解析式为y= x2﹣ 
x+3
（2）
解：存在．
如图所示，分两种情况考虑：
∵抛物线解析式为y= x2﹣ x+3，
∴其对称轴x=﹣ 
=﹣ 
= 
．
当P1C⊥CB时，△P1BC为直角三角形，
∵直线BC的斜率为﹣ ，
∴直线P1C斜率为 
，
∴直线P1C解析式为y﹣3= x，即y= x+3，
与抛物线对称轴方程联立得 
，
解得： 
，
此时P（ ， 
）；
当P2B⊥BC时，△BCP2为直角三角形，
同理得到直线P2B的斜率为 ，
∴直线P2B方程为y= （x﹣4）= x﹣ 
，
与抛物线对称轴方程联立得： 
，
解得： 
，
此时P2（ ，﹣2）．
综上所示，P1（ ， ）或P2（ ，﹣2）．
当点P为直角顶点时，设P（ ，y），
∵B（4，0），C（0，3），
∴BC=5，
∴BC2=PC2+PB2，即25=（ ）2+（y﹣3）2+（ ﹣4）2+y2，解得y= 
，
∴P3（ ， 
），P4（ ， 
）．
综上所述，P1（ ， ），P2（ ，﹣2），P3（ ， ），P4（ ， ）．
【解析】（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；（2）在抛物线的对称轴上不存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分两种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，分别求出P的坐标即可．
