题目内容
【题目】如图,二次函数y=ax2+bx﹣12的图象交x轴于A(﹣3,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点D的横坐标为m,并且当m≤x≤m+5时,对应的函数值y满足﹣m,求m的值;
(3)若点D在第四象限内,过点D作DE∥y轴交BC于E,DF⊥BC于F.线段EF的长度是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及相应点D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣12;(2)m的值为﹣或0.(3)点D坐标为(,﹣11)时,线段EF长度的最大值为.
【解析】
(1)已知抛物线过点A、B,用待定系数法即可求其解析式.
(2)把二次函数配方求得顶点为(1,﹣),当x=1时,二次函数有最小值y=﹣.而在m≤x≤m+5范围,函数值y对应的最小值也为﹣,故x=1在m≤x≤m+5的范围内,即m≤1≤m+5,解得﹣4≤m≤1.因为不确定x=m还是x=m+5时取得相应的最大值,故需分类讨论.若x=m离对称轴较远,则x=m时取得最大值﹣m,代入计算即求得m的值;若x=m+5离对称轴距离较远,则x=m+5时取得最大值,代入计算即求得m的值.
(3)由DE∥y轴可得∠DEF=∠BCO,点D与点E横坐标相同.设点D横坐标为d,用d表示点D纵坐标.求出直线BC解析式后,即能用d表示点E坐标,进而能用d表示DE的长度.由于DF⊥BC于E,所以cos∠DEF= .在Rt△BOC中易求cos∠BCO的值,由∠DEF=∠BCO得cos∠DEF=cos∠BCO,能用含d的二次式表示EF,配方即求得EF的最大值.
解:(1)∵二次函数y=ax2+bx﹣12的图象过点A(﹣3,0),B(5,0)
∴ 解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣12
(2)∵y=x2﹣x﹣
∴当x=1时,二次函数有最小值y=﹣
∵当m≤x≤m+5时,对应的函数值y满足﹣≤y≤m
∴对称轴:x=1在m≤x≤m+5的范围内,即m≤1≤m+5
解得:﹣4≤m≤1
取点(m,0)与点(m+5,0)的中点M(m+)
①当m+≤1时,即﹣4≤m≤﹣,点M在对称轴左侧
∴x=m到对称轴的距离比x=m+5到对称轴的距离远
∴x=m时,y取得最大值
∴m2﹣m﹣12=﹣m
解得:m1=(舍去),m2=﹣
②当m+>1时,即﹣<m≤1,点M在对称轴右侧
∴x=m+5到对称轴的距离比x=m到对称轴的距离远
∴x=m+5时,y取得最大值
∴(m+5)2﹣(m+5)﹣12=﹣m
解得:m1=﹣10(舍去),m2=0
综上所述,m的值为﹣或0.
(3)∵当x=0时,y=x2﹣x﹣12=﹣12
∴C(0,﹣12)
∵B(5,0),∠BOC=90°
∴直线BC:y=x﹣12,BC=
∴Rt△BOC中,cos∠BCO=
∵DE∥y轴
∴∠DEF=∠BCO,xE=xD
设D(d,d2﹣d﹣12)(0<d<5),则E(d,d﹣12)
∴DE=d﹣12﹣(d2﹣d﹣12)=﹣d2+4d=﹣(d﹣)2+5
∵DF⊥BC
∴∠DFE=90°
∴cos∠DEF==cos∠BCO=
∴EF=DE=﹣(d﹣)2+
∴当d=时,EF最大值为
此时,yD=×()2﹣×﹣12=﹣11
∴点D坐标为(,﹣11)时,线段EF长度的最大值为.
【题目】“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,经选拔后有名学生参加决赛,这名学生同时默写首古诗词,若每正确默写出一首古诗词得分,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下:
组别 | 成绩分 | 频数(人数) |
第组 | ||
第组 | ||
第组 | ||
第组 | ||
第组 |
请结合图表完成下列各题: :
(1)①求表中的值;
②频数分布直方图补充完整;
(2)若测试成绩不低于分为优秀,则本次测试的优秀率是多少?
(3)第组名同学中,有名男同学,现将这名同学平均分成两组进行对抗赛,且名男同学每组分两人,求其中小华和小强两名男同学能分在同一组的概率.