题目内容

【题目】如图,二次函数yax2+bx12的图象交x轴于A(﹣30),B50)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上的一个动点.

1)求抛物线的解析式;

2)设点D的横坐标为m,并且当mxm+5时,对应的函数值y满足﹣m,求m的值;

3)若点D在第四象限内,过点DDEy轴交BCEDFBCF.线段EF的长度是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值及相应点D的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1yx2x12;(2m的值为﹣0.(3)点D坐标为(,﹣11)时,线段EF长度的最大值为

【解析】

1)已知抛物线过点AB,用待定系数法即可求其解析式.

2)把二次函数配方求得顶点为(1,﹣),当x1时,二次函数有最小值y=﹣.而在mxm+5范围,函数值y对应的最小值也为﹣,故x1mxm+5的范围内,即m≤1≤m+5,解得﹣4≤m≤1.因为不确定xm还是xm+5时取得相应的最大值,故需分类讨论.若xm离对称轴较远,则xm时取得最大值﹣m,代入计算即求得m的值;若xm+5离对称轴距离较远,则xm+5时取得最大值,代入计算即求得m的值.

3)由DEy轴可得∠DEF=∠BCO,点D与点E横坐标相同.设点D横坐标为d,用d表示点D纵坐标.求出直线BC解析式后,即能用d表示点E坐标,进而能用d表示DE的长度.由于DFBCE,所以cosDEF .在RtBOC中易求cosBCO的值,由∠DEF=∠BCOcosDEFcosBCO,能用含d的二次式表示EF,配方即求得EF的最大值.

解:(1)∵二次函数yax2+bx12的图象过点A(﹣30),B50

解得:,

∴抛物线的解析式为yx2x12

2)∵yx2x12x12

∴当x1时,二次函数有最小值y=﹣

∵当mxm+5时,对应的函数值y满足﹣ym

∴对称轴:x1mxm+5的范围内,即m≤1≤m+5

解得:﹣4≤m≤1

取点(m0)与点(m+50)的中点Mm+

①当m+≤1时,即﹣4≤m,点M在对称轴左侧

xm到对称轴的距离比xm+5到对称轴的距离远

xm时,y取得最大值

m2m12=﹣m

解得:m1(舍去),m2=﹣

②当m+1时,即﹣m≤1,点M在对称轴右侧

xm+5到对称轴的距离比xm到对称轴的距离远

xm+5时,y取得最大值

m+52m+5)﹣12=﹣m

解得:m1=﹣10(舍去),m20

综上所述,m的值为﹣0

3)∵当x0时,yx2x12=﹣12

C0,﹣12

B50),∠BOC90°

∴直线BCyx12BC

RtBOC中,cosBCO

DEy

∴∠DEF=∠BCOxExD

Ddd2d12)(0d5),则Edd12

DEd12﹣(d2d12)=﹣d2+4d=﹣d2+5

DFBC

∴∠DFE90°

cosDEFcosBCO

EFDE=﹣d2+

∴当d时,EF最大值为

此时,yD×2×12=﹣11

∴点D坐标为(,﹣11)时,线段EF长度的最大值为

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