题目内容
如图,二次函数y=-x2+px+q的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,3),顶点M在第一象限,∠ABC=30°.
(1)求点A、B的坐标和二次函数的关系式;
(2)设直线y=
x-9与y轴的交点是D,在线段BC上任取一点E(不与B、C重合),经过A、B、E三点的圆交直线BD于点F,
①试判断△AEF的形状,并说明理由;
②设BF=m,m的取值范围是多少?(直接写出,无需过程).
(1)求点A、B的坐标和二次函数的关系式;
(2)设直线y=
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①试判断△AEF的形状,并说明理由;
②设BF=m,m的取值范围是多少?(直接写出,无需过程).
分析:(1)利用图象以及得出∠ABC=30°,得出B点坐标,进而求出二次函数解析式即可;
(2)①结合已知画出图象,进而利用圆周角定理以及锐角三角函数知识求出即可;
②利用最短时AF⊥BF,以及最长时BF为直径,可据图分析求出取值范围即可.
(2)①结合已知画出图象,进而利用圆周角定理以及锐角三角函数知识求出即可;
②利用最短时AF⊥BF,以及最长时BF为直径,可据图分析求出取值范围即可.
解答:解:(1)∵图象与y轴交于点C(0,3),
∴CO=3,即q=3,
∵∠ABC=30°,
∴tan30°=
,
∴BO=3
,
∴B点坐标为:(3
,0)
代入解析式得:0=-27+3
p+3,
解得:p=
,
∴二次函数的关系式为:y=-x2+
x+3;
∴0=-x2+
x+3;
解得:x1=3
,x2=-
;
∴A点坐标为:(-
,0);
(2)①△AEF是直角三角形,
理由:∵直线y=
x-9与y轴的交点是D,
∴D点坐标为:(0,-9),
∵B点坐标为:(3
,0),C(0,3),
∴∠ABC=30°,∠ABD=60°,
由圆周角定理可得出,∠AFE=∠ABC=30°,∠AEF=∠ABD=60°,
∴∠EAF=90°,
∴△AEF是直角三角形,
②∵最短时AF⊥BF,最长时BF为直径,
∴BF为直径,则2AB=BF=
,
∵最短时AF⊥BF时,
∵AF⊥AE,BF⊥BC,
∴AE∥BF,AF∥BC,
∴AE=BF,E点与C点重合时,BF最短,AB为直径,
∴∠ACO=30°,
∴AE=2AO,
∴BF=AE=2AO=
,
∴m的取值范围是:
<m<
.
∴CO=3,即q=3,
∵∠ABC=30°,
∴tan30°=
CO |
OB |
∴BO=3
3 |
∴B点坐标为:(3
3 |
代入解析式得:0=-27+3
3 |
解得:p=
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3 |
∴二次函数的关系式为:y=-x2+
8 |
3 |
3 |
∴0=-x2+
8 |
3 |
3 |
解得:x1=3
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3 |
∴A点坐标为:(-
| ||
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(2)①△AEF是直角三角形,
理由:∵直线y=
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∴D点坐标为:(0,-9),
∵B点坐标为:(3
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∴∠ABC=30°,∠ABD=60°,
由圆周角定理可得出,∠AFE=∠ABC=30°,∠AEF=∠ABD=60°,
∴∠EAF=90°,
∴△AEF是直角三角形,
②∵最短时AF⊥BF,最长时BF为直径,
∴BF为直径,则2AB=BF=
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∵最短时AF⊥BF时,
∵AF⊥AE,BF⊥BC,
∴AE∥BF,AF∥BC,
∴AE=BF,E点与C点重合时,BF最短,AB为直径,
∴∠ACO=30°,
∴AE=2AO,
∴BF=AE=2AO=
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∴m的取值范围是:
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点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及垂径定理和圆周角定理,根据已知得出∠AFE=∠ABC=30°,∠AEF=∠ABD=60°是解题关键.
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