Question

三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
（3）设，试求k的值；
（4）如图2，在△A₁B₁C₁中，已知A₁B₁=A₁C₁，∠A₁=108°，且A₁B₁=AB，请直接写出的值．

Answer 1

解：（1）如图所示；

（2）△BCD是黄金三角形．
证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BCD是黄金三角形．

（3）设BC=x，AC=y，
由（2）知，AD=BD=BC=x．
∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴，即，
整理，得x²+xy-y²=0，
解得．/
因为x、y均为正数，所以．

（4）．
理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠ACE=180°-72°=108°，
∴∠ACE=∠B₁A₁C₁．
∵A₁B₁=AB，
∴AC=CE=A₁B₁=A₁C₁，
∴△ACE≌△B₁A₁C₁，
∴AE=B₁C₁．
由（3）知，
∴，，
∴．
分析：（1）可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图；
（2）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
（3）通过证明△BDC∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
（4）由黄金三角形的性质可知的值．
点评：此题考查的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．