题目内容
三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．
【小题1】在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；
【小题2】△BCD是不是黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
【小题3】设
，试求k的值；
【小题4】如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1＝A1C1，∠A1＝108°，且A1B1＝AB，
请直接写出
的值．
【小题1】如图所示
【小题2】△BCD是黄金三角形．
证明如下：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°．
又∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴△BCD是黄金三角形．
【小题3】设BC＝x，AC＝y，
由（2）知，AD＝BD＝BC＝x．
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴
，即
，
整理，得
，
解得
．/
因为x、y均为正数，所以
．
【小题4】
理由：延长BC到E，使CD＝AC，连接AE．
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
∴∠ACE＝180°－72°＝108°，
∴∠ACE＝∠B1A1C1．
∵A1B1＝AB，
∴AC＝CE＝A1B1＝A1C1，
∴△ACE≌△B1A1C1，
∴AE＝B1C1．
由（3）知，，
∴
，
，
∴
．
解析
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，试求k的值；
的值．
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的值．
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