Question

二次函数的图象的顶点坐标是，它与 x 轴的一个交点B的坐标是（-2，0），另一个交点的是C，它与y 轴相交于D，O为坐标原点．试问：y轴上是否存在点P，使得△POB∽△DOC？若存在，试求出过P、B 两点的直线的解析式；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，它与 x 轴的一个交点B的坐标是（-2，0），
∴设抛物线的解析式为：将点B（-2，0）代入得，
，解得
a=-1
∴抛物线的解析式为：y=-x²+x+6．
当x=0时，y=6
∴D（0，6），
∴OD=6
y=0时，x₁=-2，x₂=3
C（3，0），
∴OC=3，
∵B（-2，0），
∴OB=2．
∵△POB∽△DOC，
∴，
∴
∴PO=4
∴P（0，4）或P（0，-4），
设直线PB的解析式为：y=kx+b，
∴或，解得：
或
求得直线PB的解析式为：y=2x+4或y=-2x-4．

分析：先根据条件利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后根据解析式求出点D，点C的坐标，最后根据相似三角形的性质求出点P的坐标，根据P、B两点的坐标利用待定系数法就可以求出直线PB的解析式．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了运用待定系数法求二次函数的解析式和求一次函数的解析式，相似三角形的判定及性质．