Question

在正方形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE的延长线于点F，连接DF，过点D作DG⊥DF交AE于点G．
（1）求证：△AGD≌△CFD；
（2）若E为CD的中点，求证：CF+EF=GE．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先根据正方形的性质得出AD=CD，∠ADC=90°，故可得出∠DAE+∠AED=90°，由CF⊥AE可知∠ECF+∠CEF=90°，故可得出∠DAE=∠ECF，同理可得出∠ADG=∠CDF，由ASA定理即可得出结论；
（2）由（1）中△AGD≌△CFD可知DG=DF，再由DG⊥DF可知△DGF是等腰直角三角形，过点D作DK⊥AE于点K，则DK=GK，根据AAS定理可得出△DKE≌△CFE，故EK=EF，DK=CF，所以GK=CF，由此即可得出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵CF⊥AE，
∴∠ECF+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠ECF，
同理，∵∠ADG+∠GDE=90°，∠GDE+∠CDF=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
在△AGD与△CFD中，
∵

∠DAE=∠ECF AD=CD ∠ADG=∠CDF

，
∴△AGD≌△CFD；

（2）∵由（1）知△AGD≌△CFD，
∴DG=DF，
∵DG⊥DF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
过点D作DK⊥AE于点K，则DK=GK，
在△DKE与△CFE中，
∵

∠DEK=∠CEF ∠DKE=∠CFE=90° DE=CE

，
∴△DKE≌△CFE，
∴EK=EF，DK=CF，
∴GK=CF，
∴CF+EF=EK+GK=GE．

点评：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．