题目内容

(1997•河南)如图,a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边,且a、b是关于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的两个根.点D在AB上,以BD为直径的⊙O切AC于点E.
(1)判断△ABC的形状;
(2)若tanA=
34
,求AE的长.
分析:(1)由a、b是关于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的两个根,根据根与系数的关系,可得a+b=c+4,ab=4(c+2),继而可得a2+b2=c2,则可判定△ABC是直角三角形.
(2)连接OE,由tanA=
3
4
与a+b=c+4,可求得a,b,c的值,又由平行线分线段成比例定理,可求得半径的长,继而求得答案.
解答:解:(1)△ABC是直角三角形.
理由:∵a、b是关于x的一元二次方程x2+4(c+2)=(c+4)x的两个根.
∴a+b=c+4,ab=4(c+2),(1分)
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
=(c+4)2-8(c+2)
=c2
∴△ABC是直角三角形.(2分)

(2)∵∠C=90°,
∴tanA=
a
b
=
3
4

设a=3k,则b=4k,从而c=5k(k>0).
∵a+b=c+4,
∴3k+4k=5k+4,
解得:k=2.
∴a=6,b=8,c=10.(5分)
连接OE.(6分)
∵AE是切线,
∴OE⊥AE.
又∵BC⊥AC,
∴OE∥BC.(7分)
∴△AOE∽△ABC,
OE
BC
=
OA
AB

OE
6
=
10-OE
10

解得:OE=
15
4

在Rt△AOE中,AE=
OE
tanA
=
15
4
3
4
=5.
点评:此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、根与系数的关系以及三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想与方程思想的应用.
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