Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．

（1）若DQ＝且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；

（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）BE＝；菱形与圆重叠部分的面积为．

【解析】

（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；

（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．

解：（1）如图：

过点P作PT⊥BQ于点T，

∵AB＝2，AD＝BC＝2，DQ＝，

∴AQ＝，

在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ＝．

又∵四边形BPDQ是平行四边形，

∴BP＝DQ＝，

∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，

∴△AQB∽△TBP，

∴

∴BT=，

∴BE＝2BT＝．

（2）设菱形BPDQ的边长为x，

则AQ＝2﹣x，

在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得

AB2+AQ2＝BQ2，

即4+（2﹣x）2＝x2，

解得x＝.

∵四边形BPDQ为菱形，∴BP=DP=,

又CP=BC-BP=,即DP=2CP,

∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，

∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，

∴PQ=BP,

∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.

∴点E、Q重合，

∴BE＝.

∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，

∴S菱形＝．