题目内容

【题目】如图①,在平面直角坐标系中,抛物线经过点两点,且与y轴交于点C

1)求抛物线的表达式;

2)如图①,在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得ACM的周长最小,求点M的坐标.

3)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P,Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP,DQ.若点P的横坐标为,求DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标;

【答案】1;(2)(12);(3的面积最大值为8,此时点的坐标为

【解析】

1)根据待定系数法求解即可;

2)本题是典型的“将军饮马”问题,由抛物线的对称性知:点A关于对称轴的对称点为点B,故只需连接BC交直线x=1于点M,则M就是使得ACM周长最小的点,然后根据待定系数法求出直线BC的解析式,而抛物线的对称轴易求,则点M的坐标可得;

3)根据题意易求出点PQ两点坐标,然后利用待定系数法可求出直线PQ的解析式,过点DEy轴交直线于点,如图④,设点D的横坐标为x,则DE的长可用含x的代数式表示,再根据可得关于x的关系式,然后根据二次函数的性质即可求出结果.

解:(1)将代入,得:

解得:

抛物线的表达式为

2)∵抛物线的解析式是

x=0时,y=3

∴点C的坐标为(03),抛物线的对称轴为直线x=1

根据抛物线的对称性知:点A关于对称轴的对称点为点B,连接BC交直线x=1于点M,则M就是使得ACM周长最小的点,如图③,

设直线BC的解析式为y=kx+3

∵点B30)在直线BC上,

0=3k+3

解得:k=1

即直线BC的解析式为y=x+3

x=1时,y=1+3=2

BC与对称轴的交点M的坐标为(12),

∴△ACM周长最小时,点M的坐标为(12);

3)当点的横坐标为时,点的横坐标为

此时点的坐标为,点的坐标为

设直线的表达式为

代入,得:

解得:

直线的表达式为

如图④,过点DEy轴交直线于点

设点的坐标为,则点的坐标为

时,的面积取最大值,最大值为8,此时点的坐标为

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