Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上.

(1)求证：BE=CE.

(2)如图,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45,原题设其它条件不变,求证：△AEF≌△BCF.

Answer 1

【答案】 (1)证明见解析 ;(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质知∠BAE=∠CAE，由AB=AC、AE=AE利用“SAS”证△ABE≌△ACE即可；

（2）根据垂直定义求出∠AFB=∠BFC=∠ADB=90°，求出∠CBF=∠EAF，根据等腰三角形的判定推出AF=BF，根据ASA推出两三角形全等即可．

试题解析：证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠BAE=∠CAE．

在△ABE和△ACE中，∵AB=AC ，∠BAE=∠CAE， AE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴∠CAD+∠C=90°．

∵BF⊥AC，∠BAC=45°，∴∠CBF+∠C=90°，∠BFC=∠AFE=90°，BF=AF，∴∠CAD=∠CBF．

在△AEF和△BCF中，∵∠EAF=∠CBF， AF=BF ，∠AFE=∠BFC，∴△AEF≌△BCF（ASA）．