Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，过对角线AC中点O的直线分别交BC、AD边于点E、F．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当四边形AECF是菱形时，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）5

【解析】

（1）根据矩形的性质，判定△AOF≌△COE（ASA），得出四边形AECF的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）由菱形的性质，得到AF=CF，设AF=CF=x，则FD=8-x，然后利用勾股定理，即可得到答案.

解：（1）在矩形ABCD中，有OA=OC，AD∥BC，

∴∠FAO=∠ECO，

∵∠AOF=∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA），

∴OF=OE，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）在矩形ABCD中，AB=DC=4，AD=BC=8，∠D=90°，

∵四边形AECF是菱形，

∴AF=CF，

设AF=CF=x，则FD=8-x，

在Rt△CDF中，由勾股定理，得：

，

∴，

解得：，

∴.