Question

【题目】如图，双曲线y=经过点A（1，2），过点A作y轴的垂线，垂足为B，交双曲线y=﹣于点C，直线y=m（m≠0）分别交双曲线y=﹣、y=于点P、Q．

（1）求k的值；

（2）若△OAP为直角三角形，求点P的坐标；

（3）△OCQ的面积记为S△OCQ，△OAP的面积记为S△OAP，试比较S△OCQ与S△OAP的大小（直接写出结论）．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）直接把点A（1，2）代入双曲线y=，求出k的值即可；

（2）设P（﹣，m），再分∠AOP=90°，∠OAP=90°及∠APO=90°三种情况进行讨论；

（3）根据A（1，2）可得出C（﹣9，2），设P（﹣，m），则Q（，m），分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，再由反比例函数图象上点的坐标特点得出△AOM，△QON，△COH与△POK的面积，根据S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK即可得出结论．

解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），

∴k=1×2=2；

（2）设P（﹣，m），

∵A（1，2），

∴OA2=12+22=5，AP2=（1+）2+（2﹣m）2，OP2=（）2+m2，

当∠AOP=90°时，

∵OA2+OP2=AP2，即5+（）2+m2=（1+）2+（2﹣m）2，解得m=±3，

∴P1（﹣6，3），P2（6，﹣3）；

当∠OAP=90°时，

∵OA2+AP2=OP2，即5+（1+）2+（2﹣m）2=（）2+m2，解得m=，

∴P3（，），P4（，）；

当∠APO=90°时，此种情况不存在；

（3）∵A（1，2），

∴C（﹣9，2）．

设P（﹣，m），则Q（，m），

分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，

∵点A、Q在反比例函数y=的图象上，

∴S△AOM=S△QON=1．

∵点C、P在反比例函数y=﹣的图象上，

∴S△COH=S△POK=9．

S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK，

∴S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，

∵梯形CHNQ与梯形AMKP的上底与下底相同，

∴只要比较HN与KM的大小即可，

∵HN﹣KM=（9+）﹣（1+）=8﹣，

∴当m=±2时，HN=KM，即S△OCQ=S△OAP；

当m＞2或m＜﹣2时，8﹣＞0，即S△OCQ＞S△OAP；

当﹣2＜m＜2时，8﹣＜0，即S△OCQ＜S△OAP．