题目内容
【题目】如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)△ACN仍为等腰直角三角形
【解析】
试题分析:(1)由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM,从而证到M为AN的中点.
(2)易证AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,从而可以证到△ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.
(3)延长AB交NE于点F,易得△ADM≌△NEM,根据四边形BCEF内角和,可得∠ABC=∠FEC,从而可以证到△ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.
试题解析:(1)如图1,
∵EN∥AD,
∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.
∵点M为DE的中点,
∴DM=EM.
在△ADM和△NEM中,
∴.
∴△ADM≌△NEM.
∴AM=MN.
∴M为AN的中点.
(2)如图2,
∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,
∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.
∵AD∥NE,
∴∠DAE+∠NEA=180°.
∵∠DAE=90°,
∴∠NEA=90°.
∴∠NEC=135°.
∵A,B,E三点在同一直线上,
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.
∴∠ABC=∠NEC.
∵△ADM≌△NEM(已证),
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN为等腰直角三角形.
(3)△ACN仍为等腰直角三角形.
证明:如图3,延长AB交NE于点F,
∵AD∥NE,M为中点,
∴易得△ADM≌△NEM,
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
∵AD∥NE,
∴AF⊥NE,
在四边形BCEF中,
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN为等腰直角三角形.