题目内容

【题目】如图,已知BAD和BCE均为等腰直角三角形,BAD=BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.

(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;

(2)将图1中的BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:ACN为等腰直角三角形;

(3)将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时,(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)ACN仍为等腰直角三角形

【解析】

试题分析:(1)由ENAD和点M为DE的中点可以证到ADM≌△NEM,从而证到M为AN的中点.

(2)易证AB=DA=NE,ABC=NEC=135°,从而可以证到ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,ACN=BCE=90°,则有ACN为等腰直角三角形.

(3)延长AB交NE于点F,易得ADM≌△NEM,根据四边形BCEF内角和,可得ABC=FEC,从而可以证到ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,ACN=BCE=90°,则有ACN为等腰直角三角形.

试题解析:(1)如图1,

ENAD,

∴∠MAD=MNE,ADM=NEM.

点M为DE的中点,

DM=EM.

ADM和NEM中,

∴△ADM≌△NEM.

AM=MN.

M为AN的中点.

(2)如图2,

∵△BAD和BCE均为等腰直角三角形,

AB=AD,CB=CE,CBE=CEB=45°.

ADNE,

∴∠DAE+NEA=180°.

∵∠DAE=90°,

∴∠NEA=90°.

∴∠NEC=135°.

A,B,E三点在同一直线上,

∴∠ABC=180°﹣CBE=135°.

∴∠ABC=NEC.

∵△ADM≌△NEM(已证),

AD=NE.

AD=AB,

AB=NE.

ABC和NEC中,

∴△ABC≌△NEC.

AC=NC,ACB=NCE.

∴∠ACN=BCE=90°.

∴△ACN为等腰直角三角形.

(3)ACN仍为等腰直角三角形.

证明:如图3,延长AB交NE于点F,

ADNE,M为中点,

易得ADM≌△NEM,

AD=NE.

AD=AB,

AB=NE.

ADNE,

AFNE,

在四边形BCEF中,

∵∠BCE=BFE=90°

∴∠FBC+FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+ABC=180°

∴∠ABC=FEC

ABC和NEC中,

∴△ABC≌△NEC.

AC=NC,ACB=NCE.

∴∠ACN=BCE=90°.

∴△ACN为等腰直角三角形.

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