Question

如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，CD=3cm，CA=4cm，AD=5cm，点E在AD上运动，作直线EO交BC于点F．

（1）试说明：线段AE与FC相等；
（2）如图2，当点E运动到使AE=a时，四边形AECF是矩形，请你求出a的值．
（3）如图3，探索：当点E运动到AD中点时，四边形AECF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的性质，得出OA=OC，继而结合平行线的性质可判断△EAO≌△FCO，从而证得结论．
（2）根据四边形AECF是矩形，可得出△ACE和△DCE都是直角三角形，继而利用勾股定理表示出DE²，建立方程可得出答案．
（3）先判断出四边形EFCD和四边形AECF都是平行四边形，然后得出∠AOE=∠ACD=90°，从而根据菱形的判定即可得出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，OA=OC，
在△EAO和△FCO中，

OA=OC ∠EAO=∠FCO ∠AEO=∠CFO

，
从而可得△EAO≌△FCO，
故可得AE=CF；

（2）解：当点E运动到使AE=3.2时，四边形AECF是矩形．理由如下：
∵四边形AECF是矩形，
∴△ACE和△DCE都是直角三角形，
根据勾股定理得，EC²=AC²-AE²，EC²=DC²-DE²，
∴AC²-AE²=DC²-DE²，即4²-a²=3²-（5-a）²，
解得：a=3.2；

（3）解：当点E运动到AE中点时，四边形AECF是菱形；理由如下：
∵E是AE中点，
∴DE=AE=FC=2.5．
∵AD∥BC，
∴四边形EFCD和四边形AECF都是平行四边形，
∴EF∥CD，
由已知CD=3，CA=4，CB=5，
∴AD²=AC²+CD²，得出∠ACD=90°，
∴∠AOE=∠ACD=90°，
∴四边形AECF是菱形．

点评：此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、菱形的判定及矩形的性质，综合考察的知识点较多，解答本题关键是要求所学知识的融会贯通．