Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且二次函数的最小值为-4，
（1）求二次函数的解析式；
（2）若M（m，n）（0＜m＜3）为此抛物线上的一个动点，连接MC、MB，试求当m为何值时，△MBC的面积最大？并求出这个最大值；
（3）已知P为抛物线上的任意一点，过点P作PQ∥x轴交抛物线于另一点Q（点P在点Q的左侧），分别作PE⊥x轴，QF⊥x轴，垂足分别为E、F，若四边形PQFE为正方形，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据点A、B的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A的坐标代入计算即可得解；
（2）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，利用勾股定理求出BC，再求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△MBC的面积最大，再根据平行直线的解析式的k值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉y得到关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式△=0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M到BC的距离，然后求解即可；
（3）根据抛物线的解析式设点P的坐标为（x，x²-2x-3），根据抛物线的对称性以及点P在点Q的左侧，表示出EF=2（1-x），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分①x＜-1时点P的纵坐标是正数，②-1＜x＜1时，点P的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可．

解答：解：（1）∵二次函数经过点A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=

-1+3

2

=1，
∵二次函数的最小值为-4，
∴顶点坐标为（1，-4），
设顶点式解析式为y=a（x-1）²-4，
则a（-1-1）²-4=0，
解得a=1，
所以，二次函数解析式为y=（x-1）²-4=x²-2x-3，即y=x²-2x-3；

（2）令x=0，则y=-3，
∴点C坐标为（0，-3），
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
根据勾股定理，BC=

32+32

=3

2

，
不难求出，直线BC的解析式为y=x-3，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点M到BC的距离最大，此时，△MBC的面积最大，
设过点M的直线为y=x+e，
联立

y=x2-2x-3 y=x+e

，
整理得，x²-3x-3-e=0，
△=b²-4ac=9+4（3+e）=0，
解得e=-

21

4

，
此时，x₁+x₂=2m=-

-3

1

=3，
解得m=

3

2

，
n=

3

2

-

21

4

=-

15

4

，
所以，点M的坐标为（

3

2

，-

15

4

），
点M到直线BC的距离为|-3-（-

21

4

）|×

2

2

=

9 2

8

，
S_△MBC=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

；

（3）设点P的坐标为（x，x²-2x-3），
∵点P在点Q的左侧，
∴EF=2（1-x），
∵四边形PQFE为正方形，
∴|x²-2x-3|=2（1-x），
根据函数图象，①x＜-1时，x²-2x-3=2（1-x），
整理得，x²=5，
解得x₁=-

5

，x₂=

5

（舍去），
x²-2x-3=（-

5

）²-2×（-

5

）-3=2

5

+2，
所以，点P的坐标为（-

5

，2

5

+2）；
②-1＜x＜1时，-（x²-2x-3）=2（1-x），
整理得，x²-4x-1=0，
解得x₁=2-

5

，x₂=2+

5

（舍去），
x²-2x-3=（2-

5

）²-2×（2-

5

）-3=2-2

5

，
所以点P的坐标为（2-

5

，2-2

5

）；
综上所述，存在点P（-

5

，2

5

+2）或（2-

5

，2-2

5

），使四边形PQFE为正方形．

点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰直角三角形的性质，正方形的四条边都相等的性质，二次函数图象上点的坐标特征，综合性较强，难度较大，（1）先求出顶点坐标，再利用顶点式解析式求解更加简便，（2）注意两平行直线解析式的k值相等的利用，（3）要分点P的纵坐标是正数与负数两种情况讨论求解．