Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．

(1)求证：∠A=2∠DCB；
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）.

试题分析：（1）连接OD，则OD⊥AB，可知∠A=∠DOB.由∠DOB=2∠DCB得：∠A=2∠DCB；
（2）由图形可知：阴影部分的面积=S△BOD-扇形DOE的面积，代入相关数据即可求出.
试题解析：（1）证明：连接OD．

∵AB与⊙O相切于点D，
∴ OD⊥AB，
∴∠B＋∠DOB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A＋∠B=90°，
∴∠A=∠DOB．
∵OC=OD，
∴∠DOB=2∠DCB．
∴∠A=2∠DCB．
（2）在Rt△ODB中，
∵OD=OE，OE=BE，
∴sin∠B=，
∴∠B=30°，∠DOB=60°．
∵BD=OB·sin60°=，
∴，
∴.
考点: 1.切线的判定；2.扇形面积的计算.